Das Differential auf reguläre Fläche

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Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »
Das Differential auf reguläre Fläche
Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Sei S teilmenge R^3 eine reguläre Fläche und F sei die Parametrisierung dieser Fläche. Weiter sei p element von S. Das Differential von f sei dann wie im Bild gegeben.

Angenommen wir haben jetzt ein Einheitsnormalenfeld N auf S.

Was ist dann ?

Meine Ideen:
Meine Idee:
Sei p=F(u) und
Sei c(0)=p und . Nun gilt mit der mehrdimensionalen Kettenregel:


Stimmt das so? Auf eine Antwort würde ich mich freuen.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil das Normalenfeld auf definiert ist. Wie willst du das nach partiell ableiten?

Der Ausschnitt ist aus Christian Bär, Elementare Differentialgeometrie, oder?
Dann schau mal ein paar Seiten weiter hinten im Abschnitt über die zweite Fundamentalform, wie man die Koeffizienten der Weingarten-Abbildung berechnen kann. Denn die Weingarten-Abbildung ist nichts anderes als das negative Differential des Einheitsnormalenfeldes: .

Kurz zusammengefasst: Man nimmt sich die Kurve für mit hinreichend kleinem . Es gilt dann und .
(Man kann diese spezielle Kurve nehmen, weil die Definition des Differentials von der speziellen Kurve unabhängig ist.)
Für alle gilt .

Dann zeigt man durch Differentiation nach
.
(Letzteres sind genau die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform.)

Die Vektoren bilden eine Basis von ; also kann man eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren schreiben:
.

Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt das:
.
und damit (mithilfe der inversen Matrix der ersten Fundamentalform)
.

(Bist du eigentlich mit der Einsteinschen Summenkonvention vertraut? Das würde die Notation etwas vereinfachen.)
 
 
Lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

„Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil das Normalenfeld auf S definiert ist. Wie willst du das nach u∈ℝ2 partiell ableiten?“


Ich habe mir die Seiten alle gründlich durchgelesen. Ich sagte doch schon S ist eine reguläre Fläche aus dem R^3. Außerdem ist
Die lokale Parametrisierung von S um p bezeichnen wir mit F. Die Komponenten u_1 und u_2 von u= (u_1,u_2) heißen Koordinaten des Punktes F(u) in S und p= F(u).



Wenn N(p) ein Einheitsnormalenfeld von S ist dann ist

N(p)= N( F(u) ) also kann ich N nach u_1 und auch nach u_2 ableiten.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lucy21
Wenn N(p) ein Einheitsnormalenfeld von S ist dann ist

N(p)= N( F(u) ) also kann ich N nach u_1 und auch nach u_2 ableiten.

Nein; du kannst partiell nach und ableiten, aber nicht .

Das Problem ist, dass die Kettenregel so, wie du sie anwendest, hier nicht benutzt werden kann:
Die Kettenregel für gewöhnliche partielle Ableitungen braucht zwei Abbildungen zwischen offenen Mengen.
Seien z.B. mit offenen Mengen . Dann ist und man kann mit der Kettenregel die partiellen Ableitungen von berechnen.


Es gibt auch eine Kettenregel für Differentiale auf regulären Flächen:
Seien differenzierbare Abbildungen. Dann ist differenzierbar und es gilt für alle .

Diese Kettenregel brauchst du hier allerdings auch nicht, denn das, was du berechnen willst, ist ja gar keine Verkettung zweier solcher Funktionen. Du möchtest einfach das Differential des Normalenvektors, ausgewertet in einem bestimmten Punkt der Tangentialebene, berechnen.

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Was natürlich auch möglich ist: Du schreibst dir die Abbildung zuerst explizit hin und leitest dann nach ab.
Nimm z.B. die Kurve , die ich oben hingeschrieben habe. Ein Einheitsnormalenfeld auf ist . (Oder das negative davon, je nach Orientierung.)

Dann ist .

Bleibt noch die Frage, ob man sich das wirklich antun will, diese Abbildung nach abzuleiten. Ich glaube, bei meinem ersten vorgeschlagenen Weg ist die Rechnung deutlich angenehmer. Augenzwinkern
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Normalenfeld auf ist eine Abbildung , so dass für alle ist.

Ein Normalenfeld auf S heißt Orientierbar, wenn es ein auf der ganzen Fläche definiertes differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf S gibt.


In der Definition der Weingartenabbildung betrachten wir Orientierbare reguläre Flächen. sprich N ist ein differenzierbares Einheitsnormalenvektor.
Die Vorschrift der Weingartenabbildung ist nach Christian Bär:



eine Alternative:

Sei , . Wähle eine Kurve mit .

Dann ist .

Wir betrachten nun ein speziellen Fall:

.

Für diesen speziellen Fall erhaltet man

oder äquivalent:



Das ist nun zu beweisen:

(Das Differential für eine glatte Abbildung , die auf einer regulären Fläche S definiert ist, aber ihre Werte in annimmt ist gegeben durch die folgende Abbildung:


mit der Vorschrift , wobei eine glatte parametrisierte Kurve ist mit c(0)=p und . )

(Nach Wikipedia: Kurz: Sei f und g differenzierbare Abbildungen, so ist auch die Verkettung differenzierbar. )





Sei also mit eine Kurve.

Zu lösen ist nun .


Da N und c differenzierbare Abbildungen sind, ist die Voraussetzungen für die Kettenregel erfüllt und wir erhalten:

.


Warum dieser Beweis falsch ist kann ich nicht verstehen. Hast du eine Alternative zu diesem Beweis ?
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

ODER auch kurz:



Man schreibt aber in der Differentialgeometrie meistens

und man weiß aber das es sich hie rum N(F(u)) handelt. Ist in der Differentialgeometrie üblich.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lucy21
Man schreibt aber in der Differentialgeometrie meistens

und man weiß aber das es sich hie rum N(F(u)) handelt. Ist in der Differentialgeometrie üblich.

Ok; habe ich noch nie so gesehen, aber nun gut.

Kann es sein, dass du auch als Kurzschreibweise für interpretierst? Das ist nicht der Fall; jedenfalls nicht mit den Definitionen von C. Bär. Da bildet ja nach ab.

Eine Idee: Wenn man definiert mit und , dann ist und .
Nun ist (wobei ja offen ist), und damit kann man auf tatsächlich die gewöhnliche Kettenregel anwenden:
.

Mit einer solchen Kurve würde es also passen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Es wurde sich eine Revision gewünscht. Nick hat schon geschrieben wie sich die Rechnung präzisieren lässt. Ich führe das nochmals aus, es ist aber dieselbe Rechnung.

Sei ein Vektorfeld. Sei . Sei durch gegeben. Dann gilt .

Für eine Kurve mit und ist dann

gemäß Definition.

Gemäß Kettenregel gilt nun


Wegen ergibt sich also

mit .

Definiert man und , dann gilt somit
lucy21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch beiden. Mir ist jetzt klar warum das bei mir falsch war. Vielen lieben dank smile
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