Matrixgleichung auflösen

02.02.2019, 00:29

1lc

Matrixgleichung auflösen

Hallo, Ich verstehe die folgende Umformung nicht.
$\begin{eqnarray*} \mathbf{A^T}\mathbf{B}+\mathbf{B}\mathbf{A}=-\mathbf{I} \end{eqnarray*}$ .
--> $\begin{eqnarray*} 2\mathbf{B}\mathbf{A} = -\mathbf{I} \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} \mathbf{B} = -\frac{1}{2}\mathbf{A^{-1}} \end{eqnarray*}$

Folgende Bedingungen gelten:
$\begin{eqnarray*} \mathbf{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbf{B} \end{eqnarray*}$ sind symmetrisch.
$\begin{eqnarray*} \mathbf{I} \end{eqnarray*}$ ist die Einheitsmatrix.

Habe schon rumgerechnet, aber Ich komme immer wieder darauf dass
$\begin{eqnarray*} \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A} \end{eqnarray*}$ dafür gelten muss. Also hier speziell kommutativität.

Das ist aber schwer zu zeigen, oder gibt es einen einfacheren Weg?

02.02.2019, 12:32

IfindU

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RE: Matrixgleichung auflösen
Das dürfte im allgemeinen auch falsch sein. Für $\begin{eqnarray*} 2 \times 2 \end{eqnarray*}$ Matrizen sollte es stimmen, da die symmetrischen Matrizen den Normalraum zu $\begin{eqnarray*} SO(2) \end{eqnarray*}$ in der Identität bilden und die $\begin{eqnarray*} SO(2) \end{eqnarray*}$ abelsch ist. Im allgemeinen sehe ich nicht warum das richtig sein sollte. Ich sehe nicht einmal warum $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch sein sollte (also $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wäre in dem Fall nicht wohldefiniert).

02.02.2019, 13:26

Finn_

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Zitat:

Ich sehe nicht einmal warum $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch sein sollte (also $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wäre in dem Fall nicht wohldefiniert).

Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch. Das folgt aus $\begin{eqnarray*} A^T=A \end{eqnarray*}$ und der allgemeinen Regel $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$ .

02.02.2019, 13:28

IfindU

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Cool

02.02.2019, 13:34

Huggy

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Zitat:

Original von Finn_
Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ symmetrisch.

Aus der Symmetrie einer Matrix folgt aber nicht, dass sie invertierbar ist.

02.02.2019, 16:00

Finn_

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Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} AB+BA=-I \end{eqnarray*}$
lässt sich nach Voraussetzung umformen zu
$\begin{eqnarray*} AB+(AB)^T=-I. \end{eqnarray*}$
Betrachte nun die Matrix $\begin{eqnarray*} X=AB \end{eqnarray*}$ . Aus
$\begin{eqnarray*} X+X^T=-I \end{eqnarray*}$
folgt, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von der Form
$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} -1/2 & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ -a_{12} & -1/2 & a_{23} & \cdots \\ -a_{13} & -a_{23} & -1/2 &\cdots\\ \cdots & \cdots & \cdots & \ddots \end{pmatrix} = M-\tfrac{1}{2}I \end{eqnarray*}$
sein muss, wobei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ antisymmetrisch ist, d.h. $\begin{eqnarray*} M^T=-M \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei invertierbar. Dann ergibt sich
$\begin{eqnarray*} B=A^{-1}X = A^{-1}M-\tfrac{1}{2}A^{-1}. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} -I = AB+BA = M-\tfrac{1}{2}I+A^{-1}MA-\tfrac{1}{2}I = M+A^{-1}MA-I \end{eqnarray*}$
und somit
$\begin{eqnarray*} A^{-1}MA = -M \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} MA = -AM = A(-M) = A^T M^T = (MA)^T. \end{eqnarray*}$
Demnach ist $\begin{eqnarray*} MA \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch.

02.02.2019, 16:44

1lc

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Zitat:

Original von Finn_
Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} AB+BA=-I \end{eqnarray*}$
lässt sich nach Voraussetzung umformen zu
$\begin{eqnarray*} AB+(AB)^T=-I. \end{eqnarray*}$
Betrachte nun die Matrix $\begin{eqnarray*} X=AB \end{eqnarray*}$ . Aus
$\begin{eqnarray*} X+X^T=-I \end{eqnarray*}$
folgt, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von der Form
$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} -1/2 & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ -a_{12} & -1/2 & a_{23} & \cdots \\ -a_{13} & -a_{23} & -1/2 &\cdots\\ \cdots & \cdots & \cdots & \ddots \end{pmatrix} = M-\tfrac{1}{2}I \end{eqnarray*}$
sein muss, wobei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ antisymmetrisch ist, d.h. $\begin{eqnarray*} M^T=-M \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei invertierbar. Dann ergibt sich
$\begin{eqnarray*} B=A^{-1}X = A^{-1}M-\tfrac{1}{2}A^{-1}. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} -I = AB+BA = M-\tfrac{1}{2}I+A^{-1}MA-\tfrac{1}{2}I = M+A^{-1}MA-I \end{eqnarray*}$
und somit
$\begin{eqnarray*} A^{-1}MA = -M \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} MA = -AM = A(-M) = A^T M^T = (MA)^T. \end{eqnarray*}$
Demnach ist $\begin{eqnarray*} MA \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch.

Hi, den Rechengang habe Ich verstanden, aber wieso folgt daraus
$\begin{eqnarray*} \mathbf{B}=-\frac{1}{2}\mathbf{A^{-1}} \end{eqnarray*}$ ?

02.02.2019, 17:04

Finn_

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Ich weiß es nicht. Aber wenn es $\begin{eqnarray*} M\ne 0 \end{eqnarray*}$ gibt, dann wird irgendwann jemand ein Beispiel posten.

Beachte dazu, dass mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ invertierbar ist. Eine invertierbare Matrix (ein Element der Einheitengruppe) kann niemals Nullteiler sein. Demnach ist $\begin{eqnarray*} A^{-1}M\ne 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} M\ne 0 \end{eqnarray*}$ war.

02.02.2019, 17:27

1lc

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Gut, dann werde Ich wohl meinen Übungsleiter fragen müssen.

Vielen Dank!

02.02.2019, 18:24

Finn_

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Dass $\begin{eqnarray*} B=-\tfrac{1}{2}A^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist, sieht man sofort durch Einsetzen in die Gleichung. Es stellt sich ja die Frage, ob es noch andere Lösungen geben kann.

Ich hab mal ein bisschen recherchiert und im Artikel Sylvester-Gleichung einen Satz gefunden, aus dem ergibt sich in unserem Fall dass notwendigerweise $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -A \end{eqnarray*}$ einen gemeinsamen Eigenwert besitzen müssen um mehr als eine Lösung erhalten zu können. Bei einer 2×2-Matrix muss dann $\begin{eqnarray*} \lambda_2=-\lambda_1 \end{eqnarray*}$ sein. Die Eigenwerte ±1 hat gerade die symmetrische Matrix
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$
das ist die Matrix zur Spiegelung an der Achse in Richtung $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Daher gilt $\begin{eqnarray*} A^{-1}=A \end{eqnarray*}$ .

Tatsächlich ergibt sich für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Lösung
$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 0 & -a\\ a & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} a & -1/2\\ -1/2 & -a \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Die Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dürfen natürlich nicht kommutieren, denn dann wäre ja $\begin{eqnarray*} M=0 \end{eqnarray*}$ , was nur für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

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