Hypothesentest über Zusammenhang in Grundgesamtheit

02.02.2019, 19:11

Moritary

Hypothesentest über Zusammenhang in Grundgesamtheit

Hallo zusammen,

ich sitze gerade vor folgender Aufgabe: Gegeben ist eine Kreuztabelle mit zwei metrischen Merkmalen (Geschlecht und Internetnutzung). Anhand eines Hypothesentests mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \alpha = 0,01 \end{eqnarray*}$ soll ich nun entscheiden, ob es zwischen den beiden Merkmalen in der Grundgesamt einen Zusammenhang gibt oder nicht.

Das grundsätzliche Vorgehen für Hypothesentests ist mir soweit klar: Nullhypothese bzw. Alternativhypothese formulieren, Prüfgröße festlegen und berechnen, kritischen Wert/Ablehnungsbereich festlegen und Entscheidung treffen. Soweit, so gut.

Bei der Aufgabe steh ich jedoch irgendwie ziemlich auf dem Schlauch: Ich meine mich aus der Vorlesung zu erinnern, dass man zum Testen eines Zusammenhangs in der Grundgesamtheit den $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ - Test nimmt. Aber irgendwie scheiter ich aktuell schon beim 1. Schritt, nämlich die Nullhypothese (es gibt keinen Zusammenhang) und Alternativhypothese (es gibt einen Zusammenhang) mathematisch zu formulieren.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank schon einmal smile

PS: Hier ist nochmal die Aufgabe, ist so vielleicht leichter nachzuvollziehen.

https://ibb.co/cY87BYn

02.02.2019, 21:14

Dopap

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1.) Hier empfiehlt sich der exakte Test nach Fischer, der auch für kleine Häufigkeiten anwendbar ist.
Deine Vierfeldertafel enthält

code:
1: 2:	a=270, b=228 c=264, d=315

mit bloßem Auge sieht man, dass a viel zu groß ist. Fischer hat nun gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} H_a \end{eqnarray*}$ hypergeometisch verteilt ist, wobei die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} P(H_a=a)\,|\,\text{Nullhypothese}\, H_0)=\frac { \binom {a+c}{a}\cdot \binom {b+d}{b} }{\binom {a+b+c+d}{a+b}} \end{eqnarray*}$ ist.

Dieser Wert ist hier lediglich 0.000913

da braucht es keine großen Reden, $\begin{eqnarray*} H_0= \end{eqnarray*}$ " es gibt keine Unterschiede" kann guten Gewissens abgelehnt werden. Aber formuliere das alles sauber und ordentlich.

2.) Sind alle Häufigkeiten größer 5 dann geht bequemer auch der $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ Test mit f=1 Freiheitsgraden. Die $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$ sind die meist aus den Randhäufigkeiten zu erwarteten Häufigkeiten unter der Nullhypothese $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac { (h_a-a)^2 }{h_a} + \frac { (h_b-b)^2 }{h_b}+ \frac { (h_c-c)^2 }{h_c}+\frac { (h_d-d)^2 }{h_d} \end{eqnarray*}$

die Varianz ist ca. 2f=2. Und was gibt es hier zu berichten?

03.02.2019, 12:28

Dopap

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ich will da etwas erklärend bemerken:

$\begin{align*} \begin{array}{|||c|c|c|}\hline & & &\sum \\\hline &a= 270 & 228 & 498\\ & 264 & 315 & 579\\ \hline \sum & 534 & 543&1077\\ \hline \end{array} \end{align*}$

das a=270 ist nun in den erwarteten Wert $\begin{eqnarray*} h_a=534\cdot\frac {498}{1077}=245.9 \end{eqnarray*}$ umzurechnen
Die restlichen $\begin{eqnarray*} h_b,h_c,h_d \end{eqnarray*}$ liegen damit per einfacher Summenrechnung fest. Der $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ Anpassungstest hat den Freiheitsgrad f=1

Und jetzt wie oben geschrieben das t mit den 4 $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$ berechnen.

Eine Tabelle liefert bei $\begin{eqnarray*} \alpha=0.01 \quad f=1 \end{eqnarray*}$ den Wert 6.635. Ist $\begin{eqnarray*} t>6.635 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ abzulehnen.

Noch da?

05.02.2019, 12:18

Dopap

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noch eine Vereinfachung:

Deine Vierfeldertafel war

code:
1: 2:	a=270, b=228 c=264, d=315

und die Prüfgröße t oder auch $\begin{eqnarray*} \hat {\chi^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\frac { (h_a-a)^2 }{h_a} + \frac { (h_b-b)^2 }{h_b}+ \frac { (h_c-c)^2 }{h_c}+\frac { (h_d-d)^2 }{h_d} \end{eqnarray*}$ .

Diese lässt sich auch bequem wie folgt bestimmen:

$\begin{eqnarray*} t=\frac{n(ad-bc)}{(a+c)(b+d)(a+b)(b+d)}\,,\quad n=a+b+c+d \end{eqnarray*}$

falls keine Tabelle zur Hand ist, kann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Wert - oder größer - zufällig entsteht, näherungsweise mit

$\begin{eqnarray*} p=\frac12 10^{-\frac {t}{3.84}} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Für $\begin{eqnarray*} t\in [2 ; 8] \end{eqnarray*}$ ist er auch ziemlich genau.

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