Wieso f(e) = e' bei Gruppenhomomorphismen?

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HalloPi Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso f(e) = e' bei Gruppenhomomorphismen?
Servus,
Folgende Folgerung verstehe ich nicht.

Definition: G, G' Gruppen. f: G -> G' Gruppenhom. genau dann, wenn f(ab)=f(a)f(b)

Folgerung:
f(e)=f(e')

---
Als Beweis wird aufgeführt (überall wo ich geguckt habe):
f(e)=f(ee)=f(e)f(e).

Das ist klar. Man kann es auch allgemeiner machen:
f(a)=...=f(a)f(e)

Daher gilt:
Für alle g € Bild(G) : g = g f(e)

Das neutrale Element e' jedoch ist so definiert:
Für alle g € G' : g = ge'

Also wäre die Folgerung f(e) = e' nur schlüssig für surjektive f.

Denn sei g € G'\Bild(G) ^ G'\Bild(G) != Leere Menge.
Wie kann ich denn nun g = g f(e) schließen?


Dankeschön! Wink Freude
HalloPi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieso f(e) = e' bei Gruppenhomomorphismen?
Ich muss einen Tippfehler am Anfang korregieren:

Folgerung:
f(e) = e'
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieso f(e) = e' bei Gruppenhomomorphismen?
Aus f(e)=f(ee)=f(e)f(e) folgt doch durch Multiplikation mit auf beiden Seiten sofort das gewünschte
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

etwas merkwürdig, dass du dich hier nicht mehr meldest und dann die gleiche Frage einfach nochmal stellst.

Klar, das war jetzt nicht super viel Zeit, die ich da investiert habe, trotzdem war es dann wohl für den Mülleimer geschrieben. Nicht sehr nett sowas..
HalloURL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieso f(e) = e' bei Gruppenhomomorphismen?
Ah ja klar. Ich habe zu kompliziert gedacht. Ich dachte es wird aus der Eindeutigkeit des neutralen Elements gefolgert...

Danke!
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