Nullstelle erster Ordnung

03.02.2019, 23:13	Sinh	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle erster Ordnung Meine Frage: Hallo, Folgende Aufgabe Beweisen oder widerlegen Sie: Die rationale Funktion $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{(z-1)(z-2)}{(z-3)^3} \end{eqnarray}$ hat in $\begin{eqnarray} z=\infty \end{eqnarray}$ eine Nullstelle erster Ordnung. Meine Ideen: Mit Wolfram alpha zeigt mir der lim z gegen unendlich das Ergebnis null. Kann ich aber leider nicht nachvollziehen.. Warum gilt das?
04.02.2019, 11:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuche $\begin{eqnarray} g(z):=f\left(\frac{1}{z}\right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z\to 0 \end{eqnarray}$ .
04.02.2019, 16:08	Sinh	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön. $\begin{eqnarray} f(\frac{1}{z}) = \frac{(\frac{1}{z} -1 ) (\frac{1}{z} - 2) }{(\frac{1}{z} - 3)^3 } = (\frac{1-z}{z}) (\frac{1-2z}{z}) \frac{1}{(\frac{1-3z}{z})^3 } = (\frac{1-z}{z}) (\frac{1-2z}{z}) \frac{z^3}{(1-3z)^3} = \frac{(1-3z)z^3+2z^5}{z^2(1-3z)^3} = \frac{z}{(1-3z)^3} + \frac{2z^3}{(1-3z)^3} \end{eqnarray}$ Und somit $\begin{eqnarray} \lim_{z \to 0} \frac{z}{(1-3z)^3} + \frac{2z^3}{(1-3z)^3} = 0 \end{eqnarray}$ Richtig ?
04.02.2019, 16:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich hätte es nicht so lang ausgewalzt und mich auf $\begin{eqnarray} \lim_{z\to 0} f\left(\frac{1}{z}\right) = \lim_{z\to 0} \frac{z(1-z)(1-2z)}{(1-3z)^3} = 0 \end{eqnarray}$ beschränkt, aber im Endeffekt kommt es aufs gleiche hinaus.

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