Differentialgleichung

04.02.2019, 10:08

LeaAnalysis1997

Differentialgleichung

Hallo,
ich habe 2 komplexe Lösungen einer Differentialgleichung gegeben: $\begin{eqnarray*} y_1(t)= e^{\lambda_1 t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2(t)= e^{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda:_1= a +ib=\bar{\lambda_2 t} \end{eqnarray*}$
Ich will mir das Phasenportrait für den Fall $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ansehehen. Dann bekomme ich doch $\begin{eqnarray*} y_1= cos b + i sin b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2= cosb - i sin b \end{eqnarray*}$ Es handelt sich also um Kreise.
Durch Ableiten sieht man, dass die Orientierung, also in welchem Umlaufsinn die Kreise durchlaufen werden, vom Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ abängt. Das ist doch aber für $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ positiv und für $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ negativ oder andersherum.
Wie entscheide ich also, wie die Kreise durchlaufen werden?

04.02.2019, 10:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von LeaAnalysis1997
$\begin{eqnarray*} y_1(t)= e^{\lambda_1 t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2(t)= e^{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda:_1= a +ib=\bar{\lambda_2 t} \end{eqnarray*}$

Dieser Symbolunfall soll wohl eigentlich folgendes bedeuten:

$\begin{eqnarray*} y_1(t)= e^{\lambda_1 t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2(t)= e^{\lambda_2 t} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1:= a +ib=\bar{\lambda_2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von LeaAnalysis1997
dass die Orientierung, also in welchem Umlaufsinn die Kreise durchlaufen werden, vom Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ abängt. Das ist doch aber für $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ positiv und für $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ negativ oder andersherum.
Wie entscheide ich also, wie die Kreise durchlaufen werden?

Du hast das doch nicht zu entscheiden, es ergibt sich. Außerdem kann man ja o.B.d.A. von $\begin{eqnarray*} b\geq 0 \end{eqnarray*}$ ausgehen, im Fall $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ tauschen $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ ihre Plätze - wozu also sich mit verschiedenen Vorzeichenfällen von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ rumplagen? verwirrt

04.02.2019, 11:05

LeaAnalysis1997

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Tut mir leid für das symbolische Durcheinander.
Wie meinst du das: Es ergibt sich?
Ich habe doch in Sinus und Cosinus Darstellung jeweils + oder - i sin(bt)
Wie entscheide ich also über den Umlaufsinn?

04.02.2019, 11:12

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} y_1(t) = e^{ibt} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ durchläuft für wachsende $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ den Einheitskreis im positiver Richtung - was willst du das noch groß diskutieren? Ich verstehe ehrlich nicht, wo du hier ein Problem siehst. unglücklich

04.02.2019, 11:19

LeaAnalysis1997

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Ja aber ich habe doch 2 Lösungen. y1 ist die x-Achse und y2 ist die y-Achse im Phasenportrait. Diese wechselwirken dann doch. Für wachsende t würde doch y2 in negativer Richtung durchlaufen,während y1 in positiver Richtung durchlaufen wird.

04.02.2019, 11:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von LeaAnalysis1997
y1 ist die x-Achse und y2 ist die y-Achse im Phasenportrait.

Davon weiß ich nichts - ich hatte angenommen, du redest über das Bild von $\begin{eqnarray*} t\mapsto y_1(t) \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Du hast also komplexe (?!) Achsen, mit denen du irgendwas darstellen willst? Bist du dir sicher, dass du nicht doch eher von reellen Repräsentanten deiner DGL-Lösungen sprechen willst, das wären hier dann z.B. $\begin{eqnarray*} \tilde{y}_1(t)=e^{at}\cos(bt) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{y}_2(t)=e^{at}\sin(bt) \end{eqnarray*}$ ?

04.02.2019, 12:07

LeaAnalysis1997

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Ja du hast Recht. Für einen Repräsentanten reicht es ja die Realteile zu betrachten. Dann ist es klar. Danke smile

Das war der entscheidende Fehler, den ich gemacht habe.
Vielen Dank nochmals HAL9000 smile

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