Globale Existenz der Lösung

04.02.2019, 21:11	Melanie233	Auf diesen Beitrag antworten »
Globale Existenz der Lösung Hallo, es geht um den Fortsetzungssatz bei Differentialgleichungen: $\begin{eqnarray} f \in C(D) \end{eqnarray}$ ist in D lokal lipschitz mit $\begin{eqnarray} D \subset \mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ offen. Dann hat für jedes $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \in D \end{eqnarray}$ das Anfangswertproblem: $\begin{eqnarray} y'=f(x,y) , y(x_0)=y_0 \end{eqnarray}$ eine Lösung , die dem Rand von D beliebig nahe kommt. Sie ist eindeutig bestimmt. Wozu brauche ich dann überhaupt noch eine globale Lipschitzbedingung, wenn ich jede lokal eindeutige Lösung bis zum Rand fortsetzen kann?
05.02.2019, 12:46	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn der Graph der Lösung dem Rand von $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ irgendwo beliebig nahe kommt, sagt das nur aus, dass es ein maximales offenes Lösungsintervall $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ gibt, für das $\begin{eqnarray} \varphi\colon (a,b)\to\mathbb R \end{eqnarray}$ eine Lösung ist des Anfangswertproblems ist. Darin ist keine Aussage darüber zu finden, wie groß dieses Intervall ist. Der globale Satz von Picard-Lindelöf gibt von vornherein ein geschlossenes Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ vor, wobei $\begin{eqnarray} D=[a,b]\times\mathbb R \end{eqnarray}$ ist, und sichert die Existenz von $\begin{eqnarray} \varphi\colon [a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ .
05.02.2019, 13:55	Melanie233	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Trotzdem findet man doch ein maximales Intervall. Der globale Picard würde doch dann das gleiche Intervall liefern nur vllt abgeschlossen? Was verstehe ich falsch?
05.02.2019, 15:46	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Der globale Picard-Lindelöf erlaubt die Situation im oberen Bild nicht, sondern verlangt das untere Bild. Unter den stärkeren Voraussetzungen wird also auch eine stärkere Aussage gemacht. [attach]48876[/attach]
05.02.2019, 17:48	Melanie233	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für dein Bild D.h ich bekomme mit dem globalen Picard im Allgemeinen ein größeres Intervall als im Fall, dass die Lösung dem Rand beliebig nahe kommt. Im Fall von globaler Existenz muss die Lösung dem Rand nicht beliebig nahe kommen.
05.02.2019, 19:25	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachten wir doch mal $\begin{eqnarray} y'=f(x,y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f\colon [-2,2]\times\mathbb R\to\mathbb R,\quad f(x,y):=y^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(0)=1 \end{eqnarray}$ . Hier ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar, und daher auch lokal Lipschitz-stetig bezüglch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Jedoch liegt keine globale Lipschitz-Stetigkeit vor, da der Anstieg von $\begin{eqnarray} y\mapsto y^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y\to\infty \end{eqnarray}$ über alle Grenzwen wächst, es also keinen festen dehnungsbeschränkenden Doppelkegel gibt, da der Graph an einer hinreichend großen Stelle sofort in ihn eintauchen würde. Die maximal fortgesetzte Lösung ist $\begin{eqnarray} \varphi\colon [-2,1)\to\mathbb R,\quad \varphi(x)=y=\frac{1}{1-x}. \end{eqnarray}$ Betrachte nun $\begin{eqnarray} f(x,y):=y \end{eqnarray}$ . Hier liegt globale Lipschitz-stetigkeit vor, und demnach muss es eine Lösung $\begin{eqnarray} \varphi\colon [-2,2]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ geben, das ist $\begin{eqnarray} \varphi(x)=e^x \end{eqnarray}$ .
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05.02.2019, 23:35	Melanie233	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok d.h Globalität ist natürlich auch abhängig von dem betrachten Intervall, auf dem die rechte Seite definiert ist. Bei deiner 2. Dgl bekommt man das maximale Intervall heraus, auf dem die Lösung existiert. Bei der nicht global lipschitz-stetigen rechten Seite der 1. Dgl käme man dann entprechend des Fortsetzungssatzes für den Limes gegen 1 nach unenndlich, also dem Rand beliebig nahe. Ich denke ich verstehe es. Der Fortsetungssatz regelt nur die Fälle, wie die Lösung sich verhalten wird. Der globale Picard garantiert, dass die Lösung in gesamten Intervall beschränkt bleibt.

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