Gleichheit bei Wegintegralen

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boerns Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit bei Wegintegralen
Hallo zusammen.
Ich beschäftige mich gerade mit holomorphen Funktionen, den Cauchy- Sätzen und deren Folgerungen.
Dabei bin ich auf einen Sachverhalt gestoßen der vermutlich sehr einfach ist, aber wie es manchmal so ist, stehe ich wieder auf dem Schlauch.... verwirrt
Und zwar wird eine Gleichheit erwähnt, die ich nicht wirklich verstehe:


Warum kann ich den den Kreisweg bei den beiden Integralen durch ersetzen?

Ich bin jetzt schon dankbar für Hilfe Gott
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal müssen wir raten, was du mit der -Symbolik meinst:

Ich nehme mal an, mit ist die Kreislinie mit Radius und Mittelpunkt gemeint? verwirrt
boerns Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Sorry, ich dachte das ist eine allgemein bekannte Bezeichnung.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man in der komplexen Ebene mit der Bastelschere einen Schnitt bis an die Polstelle macht und diese Schnittlinie entfernt, dann ist die Einschränkung der Funktion auf das übrig bleibende einfach zusammenhängende Gebiet eine holomorphe Funktion. Der Weg um diese Schnittlinie kann nun gemäß Integralsatz von Cauchy zusammengezogen werden, ohne dass sich das Wegintegral ändert. Der Weg entlang der Schnittline darf gekürzt werden, führt er doch auf holomorphem Gebiet in beliebig guter Näherung von einem Knotenpunkt zum nächsten und wieder zurück.

Effektiv lässt sich jeder Weg um eine Polstelle zu einen kleinen Kreis um diese Stelle zusammenziehen.

[attach]48878[/attach]

[attach]48880[/attach]

Demnach gilt sogar
boerns Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! :thumb
Zwei fragen hätte ich noch:

1.) Der Weg entlang des Kreises ist doch streng genommen kein geschlossener Kreis, da ja dessen Schnittstelle mit der vorher ausgeschlossenen „Scheren-Line“ nicht Teil des Weges ist. Aber das Wegintegral über diesem Weg ist mit dem über dem Kreisweg identisch. Stimmt das so?

2.) Ich könnte als für den resultierenden Kreis jeden Radius wählen, den ich möchte. Also eigentlich beliebig groß, bzw. beliebig klein?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1.): Wenn ein geschlossener Weg und entlang des Weges holomorph ist, dann gilt doch

Man setzt . Da aber beliebig klein gemacht werden kann, lässt sich das Integral beliebig gut Approximieren. Diese Argumentation benutzt man für alle Knotenpunkte.

Alternativ lassen sich auch zwei Wege betrachten, dessen Wegintegrale addiert werden, wobei sich die Wegintegrale in den Abschnitten gegenseitig aufheben, wo die beiden Wege genau aufeiner liegen, aber gegensinnig laufen.
[attach]48881[/attach]
Was haben wir jetzt davon? Nun, anders betrachtet kann das gesamte Wegintegral auch in das über den kleinen geschlossenen Weg und den großen geschlossenen aufgeteilt werden. Die Summe von beidem muss nach der Argumentation also null sein:

bzw.

Ändert man noch die die Umlaufrichtung einer der Wege, dann stimmen beide Integrale überein.

zu 2.): Ja, solange der Weg bei (homotoper) Ausdehnung nicht über Definitionslücken oder nicht-holomorphe Stellen/Bereiche gezogen wird, bleibt das Wegintegral gleich.
 
 
boerns Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe!
Wenn ich noch eine Frage nachschieben dürfte, die nicht direkt was mit der obigen Frage zu tun hat, jedoch auch mit Wegintegralen:
Warum verschwindet bei der Integration über einen geschlossenen Weg der Funktion, die eine komplexe Zahl auf ihre komplex konjugierte abbildet, der Realteill des Integrals?
Ein Integral über einen geschlossen Weg ist doch genau dann gleich null, wenn der Weg in einem sternförmigen Gebiet verläuft. Doch wie bringe ich das hier ins Spiel?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum verschwindet bei der Integration über einen geschlossenen Weg der Funktion, die eine komplexe Zahl auf ihre komplex konjugierte abbildet, der Realteill des Integrals?

Es gilt doch , dann gilt auch


Da stetig ist, gilt doch auch

Demnach muss doch auch

sein.

Das lässt sich sogar noch einfacher argumentieren. Es gilt

Wendet man nun auf beiden Seiten an, dann ergibt sich


Mit ergibt sich dann



Zitat:
Ein Integral über einen geschlossen Weg ist doch genau dann gleich null, wenn der Weg in einem sternförmigen Gebiet verläuft.

Diese Äquivalenz kann so nicht stimmen. Was hält uns denn davon ab, das Gebiet auf den Bereich einzuschränken, auf dem der Weg entlangführt?
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