Terme minimieren |
| 05.02.2019, 23:47 | Balder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Terme minimieren Hallo zusammen, ich habe eine mehrdeutige Lösung für ein lineares Gleichungssystem, beispielsweise: x = x y = 30 - x z = x + 2 Nun möchte ich x so setzen, damit der maximale Wert von x, y oder z minimal wird. Durch probieren erhalte ich folgendes: x = 13 --> y = 17, z = 15 --> max(x,y,z) = 17 x = 14 --> y = 16, z = 16 --> max(x,y,z) = 16 --> Minimum! x = 15 --> y = 15, z = 17 --> max(x,y,z) = 17 Gibt es für diese Problemstellung einen Algorithmus oder ein Stichwort, mit dem ich weitersuchen kann? Dies hier war nur ein Beispiel, praktisch werde ich wesentlich mehr Gleichungen haben und auch mehr als eine Variable, die ich anpassen kann... Bin dankbar für Antworten! Grüße, Balder Meine Ideen: Überlegung von mir war, die 3 Terme in eine Gleichung zu bekommen und partiell abzuleiten, aber ich finde keine gute Gleichung, die die Anforderungen erfüllt... Über die Summe kann ich nicht gehen: Summe = x + y + z = 32 + x --> x = -Inf Über das Produkt kann ich auch nicht gehen: Produkt = x * y * z = x * (30 - x) * (x + 2) --> x = Inf Gleichsetzen der Terme kommt nah ran, ist aber oft nicht lösbar: x = 30 - x --> x = 15 x = x + 2 --> ??? 30 - x = x + 2 --> x = 14 ! |
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| 06.02.2019, 14:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir versuchen einmal, das System allgemein zu lösen, übrigens, x = x kannst du ersatzlos streichen, das ist eine Tautologie, so wie Balder = Balder 
x + y = 30 -x + z = 2 ---------------- setze y = t (ganzzahlig, positiv .. ?) wenn zwei Gleichungen in 3 Variablen vorliegen, wird eine geeignete davon gleich einem Parameter t gesetzt. Dann ist x = 30 - t y = 0 + t z = 32 - t ------------ In dieser Konstellation ist der in Frage kommende t-Wert die Hälfte von 32, also 16 Mit t = 16 ist das Tripel (14; 16; 16) gefunden, die weiteren in der Umgebung mit t = 15 oder 17 scheiden aus. Damit brauchst du nicht mehr weiter suchen. Ein allgemeiner dahingehender Algorithmus ist mir nicht bekannt, aber es könnte durchaus sein, dass zahlentheoretische Methoden dafür in Frage kommen. Vielleicht wissen andere Helfer oder Leser hier etwas davon. mY+ |
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| 06.02.2019, 15:32 | Balder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, der Parameter t hat mir gefehlt, um das Problem ordentlich zu beschreiben, wusste echt nicht, wie ich es am besten aufschreiben soll...
Wie bist du darauf gekommen? Warum nicht die Hälfte von 30? |
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| 06.02.2019, 17:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe damit einige Rechnungen - auch mit anderen Zahlen - veranstaltet, die ich hier nicht alle aufschreiben wollte und bin meistens auf die Hälfte vom größten konstanten Zahlenwert gekommen. Kann natürlich sein, dass dies nicht immer so funktioniert. mY+ |
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| 06.02.2019, 17:38 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde es so begründen: Es ist . Der eine Wert sinkt, der andere steigt mit wachsendem , minimal wird deren Maximum daher genau dann, wenn die Komponenten gleich sind, d.h. , ergibt und damit Maximumwert 16.
Technisch gesehen kann man das ganze als Lineares Optimierungsproblem abbilden: bedeutet übersetzt drei Ungleichungsnebenbedingungen Daneben gibt es noch deine zwei Gleichungsnebenbedingungen Und die zu minimierende Zielfunktion lautet schlicht . P.S.: Genau genommen bedeuten die drei Ungleichungsnebenbedingungen nur . Aber im Zuge der Optimierung wird automatisch dafür gesorgt, dass da keine "Lücke" entsteht. 
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| 06.02.2019, 21:44 | Balder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das schaut tatsächlich nach einem Ansatz aus, der mir weiterhelfen könnte! Danke! |
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