lineare Gleichung (- Gleichungssysteme)

05.09.2004, 15:28

The_Lion

lineare Gleichung (- Gleichungssysteme)

Hallo.
Da ich zur Zeit lineare Gleichungen und Gleichungssysteme durcharbeite, habe ich wieder Fragen. Ich stelle alle dazugehörenden Fragen mit der Zeit hier herein.

Zunächst einmal die Definition einer linearen Gleichung:
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Unter eine "linearen Gleichung mit n Variablen" versteht man eine Gleichung, die durch Äquivalenzumformungen auf die Form $\begin{eqnarray*} a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=r (mit a_1, a_2,...,a_n, r \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$ gebracht werden kann.
____

Nun soll ich in folgender Aufgabe untersuchen, ob eine lineare Gleichung vorliegt und begründen:
(y+3)(x-y) = (x+2)(y-4) - y²

ich habe vereinfacht:
x*y - y² + 3*x - 3*y = x*y - 4*x + 2*y - 8

hierbei sieht man, dass x*y und y² nach einer Äquivalenzumformung wegfallen.

1.) muss man nach der Ausgangsgleichung (y+3)(x-y) = (x+2)(y-4) - y² gehen, um zu sagen ob es eine lineare gleichung ist oder nicht, also hier in diesem Fall mit dem Produkt x*y und y² oder soll man erst vereinfachen, sodass die die Form $\begin{eqnarray*} a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=r \end{eqnarray*}$ "störenden" Elemente evtl. wegfallen und danach erst sagen was für eine Gleichung es ist?

2.) In der Form $\begin{eqnarray*} a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=r \end{eqnarray*}$ kommt ja gar kein Produkt zweier Variablen vor, wie z.B. x*y (sondern nur das Produkt eines Koeffizienten mit einer Variable).
Ist eine Gleichung mit diesem Produkt immer noch eine lineare Gleichung ?

Danke.

05.09.2004, 15:52

Mazze

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Wenn Du richtig umformst werden die Produkte y*x verschwinden.

zu 1)

Du machst Äquivalenzumformungen, das heißt die Gleichungen sind alle völlig gleichwertig. Da die Gleichungen gleichwertig sind darfst Du auch anhand der umgeformten Gleichung bestimmen ob eine Linearform vorliegt.

zu 2)

Kannst Du denn in etwa die Gleichung

y*x + 2*x + 3*y = r

in Linearform bringen?

05.09.2004, 18:25

The_Lion

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Zitat:

Kannst Du denn in etwa die Gleichung y*x + 2*x + 3*y = r in Linearform bringen?

Ich würde in diesem Falle x(y+2) + 3*y = r hinschreiben, also das x ausklammern.
also (y+2)*x + 3*y = r . Dann ist y+2 der Koeffizient von x Augenzwinkern

05.09.2004, 18:54

Mazze

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Die Koeffizienten einer linearen Gleichung sind konstante reelle Zahlen. In Deinem Fall ist aber der "koeffizient" y+2 also eine Variable abhängig von x. Es liegt also keine linearform vor.

05.09.2004, 20:55

The_Lion

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Zitat:

Wenn Du richtig umformst werden die Produkte y*x verschwinden.

Immer?
ich habe es etwas versucht, bin aber nicht auf die Umformung gekommen.
Wie muss man denn bei y*x + 2*x + 3*y = r umformen ?
verwirrt

Danke.

05.09.2004, 21:20

Ben Sisko

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Nein, nicht immer. Eben nur bei linearen Funktionen.

06.09.2004, 21:31

The_Lion121212

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Hallo.
zunächst einmal folgende lineares Gleichungssystem:

Muss ich, wenn ich - nicht nur beim Gaußschen Eliminationsverfahren - z schon berechnet habe, das lineare Gleichungssystem in der klassischen Block-Schreibweise weiterführen und alle Gleichungen immer wieder neu aufschreiben oder reicht es (mathematisch gesehen), wenn ich unter dem Gleichungssystem einfach schreibe, dass ich z in die 2. Gleichung, y und z in die 1.Gleichung eisnetze und diese unabhängig von der eigentlichen Schreibweise ausrechne?

Ihr wisst wohl was ich meine, aber zur Sicherheit. Mit der Block-Schreibweise meine ich die:

x+y+z = 3
x- z = 2
5*z = 5
________
x+y+z = 3
. . .
. . .
________

Wie schreibe ich in diesem Beispiel eigentlich, dass z=1 ist ? sofort hinter der 3 Gleichung mit Äquivalenzpfeil ?

wann genau benutzt man den Folgerungspfeil "=>" ?

Ich habe hier eine Gleichung, die ich nicht auf die Diagonalform bringen konnte, da das z auch sofort wegfällt:

4x + 3y + 3z = 6
x + 3y - z = 4
4x + 2y + 3z = 1
_________________
I x + 3y - z = 4 |*(-1)
II 4x + 3y + 3z = 6 |*(-1) |*1
III 4x + 2y + 3z = 1 |*1
__________________
x + 3y - z = 4
3x + 4z = 2 ergibt sich aus II+III
- y = - 5
__________________

hier verschwindet das z aus der III. Gleichung sofort. Macht man einfach mit dem y weiter? In dem Gaußverfahren bleibt ja immer das z erhalten in der letzten Gleichung.

Danke.

06.09.2004, 21:33

The_Lion

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beachtet den ersten Satz "zunächst einmal folgende lineares Gleichungssystem:" von mir einfach nicht. Könnt ihr ruhig wegeditieren, ich war nicht eingeloggt, ihr könnt diesen beitrag auch löschen.

07.09.2004, 15:29

Mazze

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich schreib dann immer

III => z = 0

II und z => y = 0

I und y und z => x = 0

Ob "=>" hier richtig angewendet ist ist fraglich (ich setz auch öfters äquivalenzpfeile wo keine hingehören). Ich bekomm dieses Semester Aussagen/Prädikatenlogik da werd ich dann mehr zu sagen können. Die implikation "=>" bedeutet gesprochen "impliziert" oder "daraus folgt".

In etwa impliziert der Ausdruck $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} x^2 \in N \end{eqnarray*}$ man schreibt

$\begin{eqnarray*} x \in N => x^2 \in N \end{eqnarray*}$

(hoffe das ist jetzt kein genau falsches Beispiel )

Zu dem Thema das z wegfällt. Das Gaußverfahren ist eine Verallgemeinerung des Additions und am Schluss des Einsetzungsverfahrens. Du kannst nach Gauß beliebig die Zeilen umformen solange du die letzte Zeile auf eine Variable reduzieren kannst. Du kannst sogar von oben nach unten Gauß anwenden

Beispiele

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Hier fang ich natürlich an in der letzten Zeile x aufzulösen

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ e^{i*\pi} & e & \pi \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Hier würde ich anfangen z in der ersten Zeile zu berechnen!
Also man sollte zwar die klassische Zeilenstufenform erreichen aber ist nicht zwingend notwendig.

07.09.2004, 16:00

The_Lion

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Ist Bei $\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$ c auch ein Koeffizient ?
c ist auch gleichzeitig das Absolutglied stimmts?

Danke.

07.09.2004, 16:02

Mazze

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Ja c ist das Absolutglied, zur Koeffizientenfrage

$\begin{eqnarray*} ax² + bx + c = 0 <=> ax² + bx + cx^0 = 0 \end{eqnarray*}$

Alles klar?

07.09.2004, 16:05

The_Lion

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ja, alles klar.

ich habe im latex aus versehen den exponent direkt hingeschrieben, sodass alles nach "ax" nicht angezeigt wurde.