Induktion zum Beweis einer Ungleichung

08.02.2019, 13:52

Einstein1879

Induktion zum Beweis einer Ungleichung

Moin,

gegeben sei folgende Ungleichung.

$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1} \leq \begin{pmatrix} 2 n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Induktionsanfang für n=1 :

$\begin{eqnarray*} \frac{4^1}{1+1}=\frac{4}{2}=2 \leq \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=\frac{2}{1} \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung :

$\begin{eqnarray*} \frac{4^n}{n+1} \leq \begin{pmatrix} 2 n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen, gilt :

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{(n+1)}}{(n+1)+1} \leq \begin{pmatrix} 2 (n+1) \\ n+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich nun weitermachen ?

Gruß Einstein1879

08.02.2019, 14:15

HAL 9000

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Schau dir die (Fakultäts-)Definition des Binomialkoeffizienten an, aus der kannst du schließen

$\begin{eqnarray*} \binom{2(n+1)}{n+1} = \binom{2n+2}{n+1} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\cdot \binom{2n}{n} \end{eqnarray*}$ .

Das sollte im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ helfen.

08.02.2019, 18:36

Einstein1879

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@HAL 9000,

ich danke dir erstmal vielmals. Ich habe mir gerade nochmal ein paar Sachen zum Binomialkoeffizienten angeschaut, komme aber leider nicht auf die Umformung, die du gemacht hast. Wie kommst du darauf ?

08.02.2019, 18:43

Mathema

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Zitat:

Original von HAL 9000
Schau dir die (Fakultäts-)Definition des Binomialkoeffizienten an

Hat HAL doch geschrieben!

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Induktion zum Beweis einer Ungleichung

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