Additionstheoreme

08.02.2019, 18:57

JustMaths

Additionstheoreme

Meine Frage:
Verwenden Sie die Ihnen bekannten Additionstheoreme für sin (x+y) und cos (x+y) um diese Beziehung zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} sin (3\alpha)= 3 sin\alpha - 4sin^3 (\alpha) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich möchte keine Komplettlösung haben, sondern mit eurer Hilfe gemeinsam an die Aufgabe herangehen wollen.

Additionstheoreme brauche ich beim Rechnen mit Summen/Differenzen von Winkeln.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} sin (3\alpha) = sin (2\alpha + \alpha) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = sin 2\alpha * cos \alpha + cos 2\alpha * sin\alpha \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz denn korrekt?

08.02.2019, 19:03

Einstein1879

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Guten Abend,

schau mal hier. https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamm...ditionstheoreme

Und dort speziell unter dem Punkt : Winkelfunktionen für weitere Vielfache

Das sollte dir weiterhelfen. Bei Fragen melde dich einfach.

08.02.2019, 19:21

klauss

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RE: Additionstheoreme
Ergänzend gilt:

Zitat:

Original von JustMaths
Ist der Ansatz denn korrekt?

Grundsätzlich ja.
Ob er letztlich zum gewünschten Ziel führt, wird sich zeigen, wenn Du weiterrechnest. Es ist ja gar nicht gefordert, dass man stets im 1. Versuch sofort Erfolg hat. Wenn ein Weg in eine Sackgasse führt, muß man eben einen anderen beschreiten. Dann kann aber das Scheitern trotzdem lehrreich sein. Also los ...

08.02.2019, 19:25

JustMaths

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RE: Additionstheoreme
$\begin{eqnarray*} sin (3x)= 3 sin(x) - 4sin^3 (x) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} sin x ( 4cos^2x-1) \end{eqnarray*}$

Wie kommt man von der ersten auf die zweite Zeile in deinem vorgegebenen Link?

Ich könnte in der ersten Zeile den sin x ausklammern

$\begin{eqnarray*} sin ( 3-4sin^2x) \end{eqnarray*}$

Es wurde irgendwas mit dem Pythagoras a^2+b^2=c^2 bzw. a^2+b^2 = 1 (im Einheitskreis) gemacht, aber ich blicke nicht durch. Vielleicht noch einen Tipp?

08.02.2019, 19:28

JustMaths

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RE: Additionstheoreme

Zitat:

Original von klauss
Ergänzend gilt:

Zitat:

Original von JustMaths
Ist der Ansatz denn korrekt?

Was meinst Du mit ob er zum gewünschten Ziel führt? Und wo bzw. ab welcher Stelle würde es denn scheitern?

08.02.2019, 19:33

JustMaths

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RE: Additionstheoreme
ich hätte ansonsten noch den Ansatz:

sin (4 alpha - alpha) = sin (4 alpha) cos (alpha) - cos ( 4alpha) sin (alpha)

...

08.02.2019, 19:59

klauss

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RE: Additionstheoreme
An sich war mein Rat nur ganz allgemein gedacht dahingehend, dass man nicht nach jedem kleinen Schritt anhalten und ihn in Frage stellen muß.

Ich kann Dir aber auch sagen, dass Dein 1. Ansatz direkt zum Erfolg führen würde, wenn Du die beiden angesprochenen Additionstheoreme und den trigonometrischen Pythagoras an der richtigen Stelle einsetzt.

Hingegen:

Zitat:

Original von JustMaths
Und wo bzw. ab welcher Stelle würde es denn scheitern?

Z. B. wenn man falsch umformt oder falsche Schreibweisen verwendet wie
$\begin{eqnarray*} sin(3-4sin^2x) \end{eqnarray*}$

08.02.2019, 20:17

JustMaths

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RE: Additionstheoreme
Vielleicht schildere ich nochmal meine Gedankenvorgänge.

sin (3 alpha) = 3 sin (alpha) - 4 sin^3 (alpha)

= sin (2 alpha) cos (alpha) + cos (2 alpha) sin (alpha)

= ich soll die obige Identität (1. Zeile) mit sin(x+y)= sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) so umstellen, dass auf der rechten Seite nur ein Sinus in jedem Summanden vorkommen soll.

der trig. Pythagoras: sin^2 (x)+cos^2(x)=1

<=> sin^2(x)= 1- cos^2(x) / Wurzel auf beiden Seiten ziehen
<=> sin (x)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

könnte ich das mit sin (2 alpha) + cos (2 alpha) machen? Nein, oder? Weil beide in unterschiedlichen Produkten vorkommen.

08.02.2019, 20:30

klauss

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RE: Additionstheoreme
Um mal etwas anzuschieben:
Wenn Du $\begin{eqnarray*} sin(3\alpha) \end{eqnarray*}$ richtig umschreiben konntest, kannst Du es bestimmt auch mit $\begin{eqnarray*} sin(2\alpha) \end{eqnarray*}$ .

Für den Pythagoras ist es noch zu früh. Die Wurzel wirst Du später auch nicht brauchen.

08.02.2019, 21:00

JustMaths

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08.02.2019, 21:19

klauss

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RE: Additionstheoreme
Genau. Jetzt ordentlich zusammenfassen, was geht, und dann mit Pythagoras den cos zu sin machen.

08.02.2019, 21:50

JustMaths

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RE: Additionstheoreme
$\begin{eqnarray*} sin (3\alpha) = sin (2\alpha + \alpha) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin (2\alpha + \alpha)= sin (2\alpha) * cos (\alpha) + cos (2\alpha) * sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin (\alpha +\alpha) = sin (\alpha) cos (\alpha) + cos (\alpha) sin (\alpha) = 2 sin (\alpha) cos (\alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos (\alpha + \alpha) = cos (\alpha) cos (\alpha) - sin (\alpha) sin (\alpha) = cos^2 (\alpha) - sin^2 (\alpha) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (2 sin (\alpha) cos (\alpha)) * cos ( (\alpha) + (cos^2 (\alpha) - sin^2 (\alpha)) sin ( (\alpha)) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 2 sin (\alpha) cos^2 (\alpha) + cos ^2 (\alpha) sin (\alpha) - sin ^3 (\alpha) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 3 sin (\alpha) cos^2 (\alpha) - sin^3 (\alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos^2(alpha)=1-sin^2(alpha) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 3 sin(\alpha) (1-sin^2(\alpha))-sin^3(\alpha) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 3 sin (alpha) - 3 sin^3 (alpha) - sin^3 (alpha) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 3 sin (alpha) - 4 sin^3 (alpha) \end{eqnarray*}$

etwa so? smile

Endlich geschafft.

Danke dir nochmals. Hätte man diese Aufgabe auch anders und schneller lösen können? zB über komplexe Zahlen?

08.02.2019, 22:08

klauss

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RE: Additionstheoreme

Zitat:

Original von JustMaths

So ungefähr?

etwa so?

Na stimmt doch jetzt.
Die Selbstzweifel kannst Du dann mit der Zeit ablegen.

Ob es über komplexe Zahlen schneller ginge, kann ich ad hoc nicht sagen, müßte ich erst nachrechnen. Wenn Du aber das Handwerkszeug dafür hast, empfehle ich, zur Übung genau das selbst zu tun.

Nachtrag: Habs eben probiert - Der Weg über komplexe Zahlen ist an Aufwand eigentlich gleich.

08.02.2019, 22:25

JustMaths

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RE: Additionstheoreme
e^(i*phi)= $\begin{eqnarray*} cos \phi + i sin\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin (phi_1+phi_2) = sin (2alpha) * cos (alpha) + cos (2alpha) sin (alpha) \end{eqnarray*}$

mit phi_1= 2 alpha und phi_2= alpha

.....

das wäre aber doch eigentlich "derselbe Rechenweg", oder nicht?

08.02.2019, 22:44

klauss

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RE: Additionstheoreme
Bei komplexen Zahlen wäre der Ansatz
$\begin{eqnarray*} e^{3\alpha i}=\left(e^{\alpha i}\right) ^{3} \end{eqnarray*}$
Der Vergleich der Imaginärteile mündet dann in
$\begin{eqnarray*} 3 sin (\alpha) cos^2 (\alpha) - sin^3 (\alpha) \end{eqnarray*}$
womit die beiden Wege wieder vereint sind.

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