Alternierende Reihe

10.02.2019, 11:44

Einstein1879

Alternierende Reihe

Guten Morgen,

folgende Reihe sei auf Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left(\sqrt{2k}-\sqrt{k}\right)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot a_k \end{eqnarray*}$

Da es sich bei dieser Reihe um eine alternierende Reihe handelt, ist mir das Leibniz-Kriterium als Beweisverfahren in den Sinn gekommen. Ich nehme an, dass die Reihe divergiert.

Das oben genannte Kriterium liefert den Beweis dafür, dass die alternierende Reihe konvergiert, wenn die beiden folgenden Eigenschaften zutreffen.
Die Folge a_k muss Monotonie aufweisen und für den Grenzwert eine reelle Nullfolge ergeben.

Monotonie :

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\left(\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{k+1}\right)}{\left(\sqrt{2k}-\sqrt{k}\right)}=\frac{\left(\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{k+1}\right)\left(\sqrt{2(k+1)}+\sqrt{k+1}\right)}{\left(\sqrt{2k}-\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{2(k+1)}+\sqrt{k+1}\right)}=\frac{k}{\sqrt{2(k+1)}+\sqrt{k+1}} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{k+1} \geq a_k \end{eqnarray*}$ damit handelt es sich um eine monoton wachsende Folge.

Konvergenz von a_k zeigen :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_k=\infty \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt, dass Eigenschaft 2 (Nullfolge) nicht gegeben ist, somit handelt es sich um eine divergierende Reihe.

Wäre das soweit okay ?

10.02.2019, 12:17

HAL 9000

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RE: Alternierende Reihe

Zitat:

Original von Einstein1879
$\begin{eqnarray*} a_{k+1} \geq a_k \end{eqnarray*}$ damit handelt es sich um eine monoton wachsende Folge.

[...]

Damit ist gezeigt, dass Eigenschaft 2 (Nullfolge) nicht gegeben ist, somit handelt es sich um eine divergierende Reihe.

Richtig, dazu bedarf es aber nicht einer so exzessiven Rechnung:

Man sieht doch $\begin{eqnarray*} a_k = \sqrt{2k}-\sqrt{k} = \left(\sqrt{2}-1\right)\cdot \sqrt{k} \end{eqnarray*}$ direkt das $\begin{eqnarray*} a_k\to\infty \end{eqnarray*}$ an. Augenzwinkern

10.02.2019, 18:15

Einstein1879

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@HAL 9000,

in einer Klausur müsste ich doch aber so ausführlich sein, oder ?

10.02.2019, 19:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Einstein1879
in einer Klausur müsste ich doch aber so ausführlich sein, oder ?

Mit "ausführlich" meinst du deine falsche Rechnung?

Zitat:

Original von Einstein1879
$\begin{eqnarray*} =\frac{\left(\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{k+1}\right)\left(\sqrt{2(k+1)}+\sqrt{k+1}\right)}{\left(\sqrt{2k}-\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{2(k+1)}+\sqrt{k+1}\right)}=\frac{k}{\sqrt{2(k+1)}+\sqrt{k+1}} \end{eqnarray*}$

Fürchterlich falsche Umformung. unglücklich

11.02.2019, 18:03

Einstein1879

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@ HAL 9000,

Monotonie :

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\left(\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{k+1}\right)}{\left(\sqrt{2k}-\sqrt{k}\right)}=\frac{\left(\sqrt{2(k+1)}-\sqrt{k+1}\right)\left(\sqrt{2(k+1)}+\sqrt{k+1}\right)}{\left(\sqrt{2k}-\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{2(k+1)}+\sqrt{k+1}\right)}=\frac{2k+2-k-1}{\sqrt{4k^2+4k}+\sqrt{2k^2+2k}-\sqrt{k^2+k}-\sqrt{2k^2+2k}}=\frac{k+1}{\sqrt{4k^2+4k}-\sqrt{k^2+k}}=\frac{k+1}{2\sqrt{k^2+k}-\sqrt{k^2+k}}=\frac{k+1}{\sqrt{k^2+k}} \end{eqnarray*}$

Wäre das so besser ? Aber für k=0 wäre das ja mathematisch nicht okay, oder ?

12.02.2019, 00:16

HAL 9000

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Ich sehe da nur sinnlos aufgeblasene Terme ohne den geringsten Mehrwert gegenüber $\begin{eqnarray*} a_k = \sqrt{2k}-\sqrt{k} = \left(\sqrt{2}-1\right)\cdot \sqrt{k} \end{eqnarray*}$ . Wenn du partout den Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} \end{eqnarray*}$ willst, dann tu das doch darauf basierend direkt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}} = \sqrt{\frac{k+1}{k}} \end{eqnarray*}$ .

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