Mit Winkel 59° ein 360-Eck konstruieren

10.02.2019, 13:13

mathlete

Mit Winkel 59° ein 360-Eck konstruieren

Meine Frage:
Aufgabe:
Ein Winkel w heißt schön, wenn sich aus den Punkten (0,0), (0,1) und dem an der x-Achse abgetragenen Winkel w ein regelmäßiges 360-Eck unter Verwendung von Zirkel und Lineal konstruieren lässt.
A) Zeige w=59° ist schön
B) Zeige es gibt mindestens f(90)=24 verschiedene schöne Winkel, die ganzzahlig sind und zwischen 0 und 90 liegen.

Meine Ideen:
Zu a): ich weiß, dass ein 360 Eck konstruierbar ist, wenn der Punkt (cos(2pi/360), sin(2pi/360)) konstruierbar ist. Leider hab ich keinen Ansatz wie ich vom Winkel 59 auf diese schreibweise komme.

Ich bin dankbar für jeden Tipp oder Hilfe! Ich stehe leider auf dem Schlauch unglücklich

10.02.2019, 14:18

Elvis

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a) Wie man den 60° Winkel konstruiert, ist bekannt. 1°=60°-59°. 360°=360*1°.

10.02.2019, 15:41

mathlete2

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Ah, danke. Ich dachte irgendwie ich müsste noch zeigen, dass der 59 Grad Winkel konstruierbar ist Hammer

zur b) hab ich jetzt folgenden Ansatz:
Wie muss ein schöner Winkel w aussehen?
Es muss ein konstruierbarer Winkel v existieren sodass v-w=1, also v=w+1.
Jetzt muss man nur noch wissen, wie viele Winkel zwischen 0 und 90 konstruierbar sind. Ich komme nur auf die Winkel 15,30,45,60,75,90. Kann ich diese vielleicht noch irgendwie fünfteln oder zehnteln? Insgesamt müsste ich ja mindestens auf 24 konstruierbare winkel kommen, oder denk ich falsch?
oder kann ich vielleicht damit arbeiten, dass eine Zahl genau dann konstruierbar ist, wenn sie in einer Endlichen quadratischen Erweiterung von Q liegt?

10.02.2019, 18:16

Elvis

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Man kann ziemlich viel konstruieren : https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon

Das ist aber nicht entscheidend. Du suchst schöne Winkel. 59° ist schön. 58° ist schön, weil 60°-58° durch Halbierung 1° ergibt.

10.02.2019, 19:02

mathlete2

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Vielen Dank! Ich hab jetzt auch nochmal überlegt, kann man den Beweis vielleicht so führen?

Sei a ein schöner Winkel. Dann ist x*a-k*360=1, wobei x die notwendigen Vielfachheit beschreibt, die benötigt wird den Winkel 1 zu erzeugen und k die Anzahl der vollständigen Drehungen die x*a beschreiben. Somit muss gelten ggt(a,360)=1 und insbesondere ggt(a,90)=1 (da 90 teiler von 360). Die Anzahl dieser a wird durch f(90)=24 gegeben.

10.02.2019, 19:21

HAL 9000

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Da man alle Vielfachen von 3° sowieso konstruieren kann, erfüllen an sich alle nicht durch 3 teilbaren Winkel das geforderte, das sind im Bereich 0 bis 90 Grad sogar 60 Stück. Augenzwinkern

Zitat:

Original von mathlete2
Die Anzahl dieser a wird durch f(90)=24 gegeben.

Du meinst vermutlich $\begin{eqnarray*} \varphi(90)=24 \end{eqnarray*}$ mit der Eulerschen Phifunktion, für die ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ eine anerkannte Symbolik. Wenn du da aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ schreibst, solltest du wenigstens kurz erwähnen, was du da mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ meinst - und zwar gleich oben in der Aufgabenstellung! unglücklich

10.02.2019, 19:29

mathlete2

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Okay, aber reicht mein beweis so aus? Oder meinst du ich sollte lieber über die Vielfachheiten von 3 gehen?

Ja, genau die meine ich, hab es vergessen Hammer

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Viele Grüße
Steffen

14.02.2019, 08:58

HAL 9000

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Der Beweis mit dem $\begin{eqnarray*} \varphi(90)=24 \end{eqnarray*}$ ist natürlich einfacher: Für jeden ganzzahligen Winkel $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ (ohne Gradeinheit ° geschrieben) mit

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left(w,360\right) = \operatorname{ggT}\left(w,90\right) = 1 \end{eqnarray*}$

ist dann unmittelbar klar, dass jeder ganzzahlige Gradwinkel durch ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ (unter Berücksichtigung der Vollkreisperiodizität, was ja einer Operation modulo 360 entspricht) dargestellt werden kann. Das ist aber nur ein hinreichendes Kriterium, d.h., es sagt nichts darüber aus, ob es nicht auch noch andere Winkel gibt, wo durch zusätzliche ebenfalls erlaubte Operationen (z.B. Winkelhalbierung) auch dieser Effekt erreicht werden. Das ist dann aber im Nachweis erheblich aufwändiger und führt zu eben jenem

Zitat:

Original von HAL 9000
Da man alle Vielfachen von 3° sowieso konstruieren kann, erfüllen an sich alle nicht durch 3 teilbaren Winkel das geforderte, das sind im Bereich 0 bis 90 Grad sogar 60 Stück. Augenzwinkern

mit der genauen Anzahl 60 solcher Winkel. Aber das war in der Aufgabenstellung nicht gefordert, die begnügen sich mit der einfachen Variante, da sie nur eine Mindestanzahl 24 nachgewiesen haben wollen. Augenzwinkern

P.S.: Sorry für die späte Rückmeldung, hatte das aus dem Auge verloren.

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