Erwartungswertabschätzung

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daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswertabschätzung
Liebes Forum,

ich soll Folgendes zeigen oder widerlegen:
Sei eine reellwertige, standardnormalverteilte Zufallsvariable. Dann gilt für alle und :


Ich habe Computersimulationen durchgeführt und es sieht eindeutig so aus, als ob die Aussage stimmen würde, aber ich habe keine gute Idee, wie man das beweisen kann. Für ist es klar, also würde sich vielleicht Induktion anbieten.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Liebe Grüße
daLoisl
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo daLoisl,

Wähle , und so, dass sich die Summe auf der linken Seite zu null aufhebt.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
so, dass sich die Summe auf der linken Seite zu null aufhebt.

Erzähl doch mal, welche das konkret sein sollen, so dass für alle



gelten soll...


P.S.: Was ähnliches hatte ich auch im Sinn - nicht mit Wert Null, aber zumindest so klein, dass es als Gegenbeispiel taugt - konkret mit , klappt aber nicht. unglücklich
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Romaxx
so, dass sich die Summe auf der linken Seite zu null aufhebt.

Erzähl doch mal, welche das konkret sein sollen, so dass für alle



gelten soll...


P.S.: Was ähnliches hatte ich auch im Sinn - nicht mit Wert Null, aber zumindest so klein, dass es als Gegenbeispiel taugt - konkret mit , klappt aber nicht. unglücklich


Z.B. bei und .
Imao ist nicht ausgeschlossen, dass eine Zufallsvariable sein kann, oder? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Romaxx
.
Imao ist nicht ausgeschlossen, dass eine Zufallsvariable sein kann, oder?

Selbstverständlich ist das ausgeschlossen: Da steht klar und deutlich (also eine reelle Konstante) statt . unglücklich
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es eine Konstante sein soll, hast du natürlich recht smile .
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten. Die dürfen tatsächlich nur konstant sein.

Ich habe noch eine alternative Formulierung der Aufgabe hergeleitet. Im Fall kann man damit die Aussage leicht zeigen, aber für große weiß ich nicht, ob sie nützlich ist:
Wenn die charakteristische Funktion bzw. Fouriertransformation der Normalverteilung bezeichnet, gilt (je nach Konvention modulo multiplikativer, positiver Konstanter)

Die Frage ist also, ob die Matrix

für alle positiv semidefinit ist. Aus obiger Identität sieht man bereits, dass positiv semidefinit ist.

Im Fall kann man einfach ausrechnen:


In unserer speziellen Matrix gilt , und weil die erste Matrix positiv semidefinit ist, folgt . Dann ist aber auch die zweite Matrix positiv semidefinit.

Für größere ist das leider nicht so einfach durchzuführen. Aber vielleicht ist dieser Ansatz für euch inspirierend? verwirrt

Liebe Grüße
daLoisl
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hast du zu diesem Problem bereits eine Lösung?

Wäre selbst daran interessiert.

Grüße
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich habe das derzeit aufgegeben. Aber falls mir doch nochmal eine Lösung oder ein vielversprechender Ansatz einfällt, werde ich es hier posten.
Danke für das Interesse.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, ich hätte ein Gegenbeispiel. Habe mich leider geirrt. böse

Dafür habe ich nun einen möglichen Beweis. smile

Wenn wir uns jeden Summanden auf der linken Seite im Betrag einzeln ansehen, dann ist festzustellen, das die Multiplikation mit nicht den Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung, lediglich deren Position auf dem Kreis um den Ursprung ändert. Man kann nun hergehen und den Erwartungswert für jeden Einzelnen Summanden in dieser Betrachtungsweise berechnen, denn auch der Erwartungswert der vektorielle Addition im komplexen kann einfach auseinander gezogen werden, wenn man in dieser Betrachtungsweise bleibt. Der Erwartungswert ist aber sehr einfach als modulo für die Position auf dem Kreis zu berechnen. Der Erwartungswert des Betrages der Addition aller Summanden ist also sogar gleich der rechten Seite ohne .
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