Erwartungswertabschätzung

10.02.2019, 14:17

daLoisl

Erwartungswertabschätzung

Liebes Forum,

ich soll Folgendes zeigen oder widerlegen:
Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine reellwertige, standardnormalverteilte Zufallsvariable. Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N, t_1, \ldots, t_n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \mathbb E\left[ \left| \sum_{k=1}^n \lambda_i \exp(-2\pi i t_k X) \right| \right] \ge \frac 1 n \left| \sum_{k=1}^n \lambda_k \right|. \end{eqnarray*}$

Ich habe Computersimulationen durchgeführt und es sieht eindeutig so aus, als ob die Aussage stimmen würde, aber ich habe keine gute Idee, wie man das beweisen kann. Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist es klar, also würde sich vielleicht Induktion anbieten.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Liebe Grüße
daLoisl

11.02.2019, 00:15

Romaxx

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Hallo daLoisl,

Wähle $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_1,t_2 \end{eqnarray*}$ so, dass sich die Summe auf der linken Seite zu null aufhebt.

11.02.2019, 07:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Romaxx
$\begin{eqnarray*} t_1,t_2 \end{eqnarray*}$ so, dass sich die Summe auf der linken Seite zu null aufhebt.

Erzähl doch mal, welche $\begin{eqnarray*} t_1,t_2 \end{eqnarray*}$ das konkret sein sollen, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exp(-2\pi i t_1 x) = -\exp(-2\pi i t_2 x) \end{eqnarray*}$

gelten soll...

P.S.: Was ähnliches hatte ich auch im Sinn - nicht mit Wert Null, aber zumindest so klein, dass es als Gegenbeispiel taugt - konkret mit $\begin{eqnarray*} t_1=-t_2 \end{eqnarray*}$ , klappt aber nicht. unglücklich

11.02.2019, 10:34

Romaxx

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Romaxx
$\begin{eqnarray*} t_1,t_2 \end{eqnarray*}$ so, dass sich die Summe auf der linken Seite zu null aufhebt.

Z.B. bei $\begin{eqnarray*} t_1=0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2=\frac{1}{2X}\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Imao ist nicht ausgeschlossen, dass $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable sein kann, oder? smile

11.02.2019, 13:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Romaxx
$\begin{eqnarray*} t_2=\frac{1}{2X}\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Imao ist nicht ausgeschlossen, dass $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable sein kann, oder?

Selbstverständlich ist das ausgeschlossen: Da steht klar und deutlich $\begin{eqnarray*} t_2\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (also eine reelle Konstante) statt $\begin{eqnarray*} t_2:\;\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

11.02.2019, 13:27

Romaxx

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Wenn es eine Konstante sein soll, hast du natürlich recht smile

11.02.2019, 17:51

daLoisl

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Danke für die Antworten. Die $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ dürfen tatsächlich nur konstant sein.

Ich habe noch eine alternative Formulierung der Aufgabe hergeleitet. Im Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ kann man damit die Aussage leicht zeigen, aber für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht, ob sie nützlich ist:
Wenn $\begin{eqnarray*} \Phi_X \end{eqnarray*}$ die charakteristische Funktion bzw. Fouriertransformation der Normalverteilung bezeichnet, gilt (je nach Konvention modulo multiplikativer, positiver Konstanter)
$\begin{eqnarray*} \mathbb E\left[ \left| \sum_{k=1}^n \lambda_i \exp(-2\pi i t_k X) \right| \right] = \sum_{k,j=1}^n \lambda_k \overline{\lambda_j} \mathbb E\left[ \exp(-2\pi i (t_k-t_j) X) \right] = \sum_{k,j=1}^n \lambda_k \overline{\lambda_j} \Phi_X(t_k - t_j). \end{eqnarray*}$
Die Frage ist also, ob die Matrix
$\begin{eqnarray*} \left(\Phi_X(t_k-t_j)-\frac 1 n\right)_{i,j=1}^n \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} t_1,\ldots, t_n \end{eqnarray*}$ positiv semidefinit ist. Aus obiger Identität sieht man bereits, dass $\begin{eqnarray*} \left(\Phi_X(t_k-t_j)\right)_{i,j=1}^n \end{eqnarray*}$ positiv semidefinit ist.

Im Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ kann man einfach ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1& a \\a & 1\end{pmatrix} \quad \text{hat Eigenwerte } 1+a, 1-a, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac 1 2& a - \frac 1 2 \\a - \frac 1 2 & \frac 1 2\end{pmatrix} \quad \text{hat Eigenwerte } a, 1-a. \end{eqnarray*}$
In unserer speziellen Matrix gilt $\begin{eqnarray*} a\ge 0 \end{eqnarray*}$ , und weil die erste Matrix positiv semidefinit ist, folgt $\begin{eqnarray*} a \in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber auch die zweite Matrix positiv semidefinit.

Für größere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist das leider nicht so einfach durchzuführen. Aber vielleicht ist dieser Ansatz für euch inspirierend? verwirrt

Liebe Grüße
daLoisl

24.02.2019, 09:42

Romaxx

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Hi,

hast du zu diesem Problem bereits eine Lösung?

Wäre selbst daran interessiert.

Grüße

24.02.2019, 10:11

daLoisl

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Nein, ich habe das derzeit aufgegeben. Aber falls mir doch nochmal eine Lösung oder ein vielversprechender Ansatz einfällt, werde ich es hier posten.
Danke für das Interesse.

27.02.2019, 01:35

Romaxx

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Ich dachte, ich hätte ein Gegenbeispiel. Habe mich leider geirrt. böse

Dafür habe ich nun einen möglichen Beweis. smile

Wenn wir uns jeden Summanden auf der linken Seite im Betrag einzeln ansehen, dann ist festzustellen, das die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \exp(-2\pi i t_kX) \end{eqnarray*}$ nicht den Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung, lediglich deren Position auf dem Kreis um den Ursprung ändert. Man kann nun hergehen und den Erwartungswert für jeden Einzelnen Summanden in dieser Betrachtungsweise berechnen, denn auch der Erwartungswert der vektorielle Addition im komplexen kann einfach auseinander gezogen werden, wenn man in dieser Betrachtungsweise bleibt. Der Erwartungswert ist aber sehr einfach als $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ für die Position auf dem Kreis zu berechnen. Der Erwartungswert des Betrages der Addition aller Summanden ist also sogar gleich der rechten Seite ohne $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

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