Lösung für Hilbert's Programm, zugleich Widerlegung der Gödelschen Unvollständigkeitssätze - Seite 2
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28.02.2019, 11:39 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch mathematisch relevante Sätze, die man in der Peano-Arithmetik nicht beweisen kann, die man aber in der ZFC-Mengenlehre beweisen kann, z.B. der Satz von Goodstein. Der Satz von Goodstein ist also wahr, aber in PA nicht beweisbar. Das ist nicht mehr sonderlich aufregend sondern Allgemeinwissen, siehe Wikipedia ( https://de.wikipedia.org/wiki/Goodstein-Folge ).

Nachtrag : Genauso zum "Allgemeinwissen" gehört, dass die Peano-Arithmetik "wesentlich unvollständig" ist ( https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Arithmetik ).
Nur der liebe Gott und Pippen sind allwissend und wissen alles besser. Augenzwinkern
09.03.2019, 03:59 Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zusammenfassend gesagt kann es keinen Algorithmus, der alle im Standardmodell der natürlichen Zahlen wahren Sätze erkennen oder produzieren kann, weder in endlicher, noch in unendlicher Zeit.


Ja, einen solchen Algorithmus kann es nicht geben.

Aber es kann ein System geben, das alle im Standardmodell IN wahren Sätze produzieren kann, in dem alle diese wahren Sätze einfach als Axiome hergenommen werden. Ein solches System wäre auch beweisbar konsistent. Das Problem liegt darin, dass völlig offen bleibt, wie man zu so einem System kommen kann, einen Algorithmus gibt's ja nicht. Nehmen wir aber an, es gäbe nur endliche viele formulierbare Sätze in IN. Dann gäbe es eine Liste mit allen möglichen Kombinationen der Sätze im Standardmodell IN und es wäre nicht ausgeschlossen, dass durch Ausschlussverfahren irgendwann nur noch ein System übrig bleibt, was dann alle wahren Sätze beinhaltet. Das kann Gödel mE nicht ausschließen, oder?
09.03.2019, 08:47 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Halteproblem für Turingmaschinen ist nicht entscheidbar . Gäbe es ein System, das alle wahren Aussagen in einer Liste vorlegen könnte, wäre das Halteproblem gelöst. Siehe hier unter dem Stichwort "Halteproblem", wie daraus der Gödelsche Uvollständigkeitssatz folgt: https://de.wikipedia.org/wiki/Beweise_de...keitss%C3%A4tze
11.03.2019, 21:13 Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das Halteproblem für Turingmaschinen ist nicht entscheidbar . Gäbe es ein System, das alle wahren Aussagen in einer Liste vorlegen könnte, wäre das Halteproblem gelöst. Siehe hier unter dem Stichwort "Halteproblem", wie daraus der Gödelsche Uvollständigkeitssatz folgt: https://de.wikipedia.org/wiki/Beweise_de...keitss%C3%A4tze


Das Halteproblem und Gödel gehen davon aus, dass es unendlich viele Programme oder Sätze gibt, nur deshalb funktionieren sie. Aber ist das so? Kann man das beweisen? Könnte es nicht sein, dass mithilfe von Abstraktionen wie den Quantoren irgedwann alles in endlich vielen Aussagen ausgedrückt werden kann? So kann man ja auch die unendlich vielen natürlichen Zahlen in 4 Sätzen (erste vier Peano-Axiome) ausdrücken, wieso sollte sowas nicht auch im noch Größeren gehen?
11.03.2019, 22:32 zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

ZFC und PA sind beide nicht endlich axiomatisierbar.
12.03.2019, 10:04 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Pippen
Wer Mathematik verstehen will, muss die Werke der großen Meister studieren. Wahrheiten können nicht widerlegt werden, deshalb ist jeder derartige Versuch sinnlos.
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12.03.2019, 10:57 Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Nur gut, dass ZFC und PA und allgemein Mathematik so sperrig sind denn sonst gäbe es auf YouTube noch mehr Videos mit "debunking math"

Sobald das Thema ein wenig wechselt geht's schon los. Zu "debunking Einstein" gibt es gleich reichlich Material.

Der gute Dunning Kruger läßt grüßen.




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13.03.2019, 16:47 Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
ZFC und PA sind beide nicht endlich axiomatisierbar.


Ich meine das Anderes. Woher weiß man, dass es im Standardmodell IN unendlich viele Wahrheiten gibt? Ich hatte ja schon geschrieben, dass es durchaus nicht absurd erscheint, unendlich Vieles mit endlich vielen Aussagen einzufangen. Woher/Wie weiß man, dass das im Standardmodell IN nicht klappt? Läuft das darauf hinaus, dass man sagt: 1+1=2 ist zB wahr und wir können vor diese Aussage beliebig viele Quantoren setzen, wobei jede Quantor eine neue (wahr) Aussage schafft? MaW: Man kann bereits formal beweisen, dass ein Modell wie IN in einer Prädikatenlogik unendlich viele wahre Aussagen haben muss, wenn auch nur eine Grundaussage wahr wäre.
13.03.2019, 22:17 zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Läuft das darauf hinaus, dass man sagt: 1+1=2 ist zB wahr und wir können vor diese Aussage beliebig viele Quantoren setzen, wobei jede Quantor eine neue (wahr) Aussage schafft?

Damit kann man begründen, dass diese Theorie (wie viele andere auch) unendlich ist.

Zitat:
Original von Pippen
Ich hatte ja schon geschrieben, dass es durchaus nicht absurd erscheint, unendlich Vieles mit endlich vielen Aussagen einzufangen. Woher/Wie weiß man, dass das im Standardmodell IN nicht klappt?

Die Theorie Th(IN) ist nicht rekursiv aufzählbar, also auch nicht (endlich) axiomatisierbar. Das folgt aus Tarskis Undefinierbarkeitssatz.
14.03.2019, 13:43 index_razor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Ich meine das Anderes. Woher weiß man, dass es im Standardmodell IN unendlich viele Wahrheiten gibt?


Wie wär's damit: Man weiß, daß es unendlich viele Zahlen gibt. Und zu jeder Zahl n gibt es eine wahre Aussage der Form "Es gibt ein m, so daß m = n+1".
14.03.2019, 14:08 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine Aussage sondern eine Aussageform. Im Prinzip hast du recht, denn es gibt offenbar unendlich viele wahre Aussagen 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 4711=4710+1, ... Schon in der Grundschule lernt man, dass man nicht nur Zählen sondern auch addieren und multiplizieren kann, womit wir unendlich viele wahre Aussagen der Form a=b+c, z.B. 5=3+2 und x+y=z, z.B. 646+858=1504 haben. Wie man auf die Idee kommen kann, dass die Grundrechenarten, die höheren Rechenarten und alle Sätze der Arithmetik endlich viele Aussagen sein könnten, ist mir schleierhaft. 3 ist eine (kleine) Primzahl, ist eine (große) Primzahl, ... Augenzwinkern
14.03.2019, 14:18 index_razor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das ist keine Aussage sondern eine Aussageform.


Ich meinte das "n" in der Aussage nicht als Variable, sondern als Abkürzung für einen arithmetischen Term, z.B. sowas wie "1+1+1+...." (n mal). Damit wird es m.E. zu einer arithmetischen Aussage.

Zitat:

Im Prinzip hast du recht, denn es gibt offenbar unendlich viele wahre Aussagen 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 4711=4710+1, ...


Ja, diese Menge kam mir auch in den Sinn. In meiner Antwort ging es um eine etwas andere Menge von Aussagen, nämlich "Es gibt ein m, so daß m=0+1", "Es gibt ein m, so daß m=1+1", "Es gibt ein m, so daß m=2+1", etc.

Zitat:

Schon in der Grundschule lernt man, dass man nicht nur Zählen sondern auch addieren und multiplizieren kann, womit wir unendlich viele wahre Aussagen der Form a=b+c, z.B. 5=3+2 und x+y=z, z.B. 646+858=1504 haben. Wie man auf die Idee kommen kann, dass die Grundrechenarten, die höheren Rechenarten und alle Sätze der Arithmetik endlich viele Aussagen sein könnten, ist mir schleierhaft.


Ja, mir auch.
14.03.2019, 14:42 Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von index_razor
Wie wär's damit: Man weiß, daß es unendlich viele Zahlen gibt. Und zu jeder Zahl n gibt es eine wahre Aussage der Form "Es gibt ein m, so daß m = n+1".


Ok, aber dann machst du folgendes: "Für alle m gilt: es gibt ein m, so dass m = n+1". Jetzt hast du auf einmal unendliche viele Aussagen in einer zusammengefasst. Deshalb ist es nicht ganz absurd zu glauben, dass auch bei unendlich vielen Zahlen nur endlich viele Wahrheiten dazu existieren. Scheitert aber daran, dass man jeder Aussage beliebig viele Quantoren vorschalten und damit beliebig viele Aussagen bilden kann. So hat aber dann auch das Modell, in dem nur die Null und nix anderes vorkommt, unendlich viele Wahrheiten, nämlich: "es existiert eine 0", "es existiert ein Satz, nach dem die Null existiert", "es existiert ein Satz, wonach ein Satz existiert, nach dem die Null existiert" usw. usf. So reime ich mir das jedenfalls zusammen.

Trotzdem: Ich nehme einfach alle (unendlich vielen) Wahrheiten im Standardmodell der natürlichen Zahlen als Axiome und hätte damit einen Kalkül, der korrekt und vollständig wäre. Wir wüßten zwar nicht, wie wir so einen Kalkül praktisch aufstellen sollten, aber er wäre auch nicht logisch unmöglich.
14.03.2019, 15:19 index_razor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Zitat:
Original von index_razor
Wie wär's damit: Man weiß, daß es unendlich viele Zahlen gibt. Und zu jeder Zahl n gibt es eine wahre Aussage der Form "Es gibt ein m, so daß m = n+1".


Ok, aber dann machst du folgendes: "Für alle m gilt: es gibt ein m, so dass m = n+1". Jetzt hast du auf einmal unendliche viele Aussagen in einer zusammengefasst.


Du meinst sicher "Für alle n gilt..." Das ist dann lediglich eine weitere wahre Aussage. Die anderen gibt es trotzdem noch.

Zitat:

Deshalb ist es nicht ganz absurd zu glauben, dass auch bei unendlich vielen Zahlen nur endlich viele Wahrheiten dazu existieren.


Doch, das ist absurd. Offensichtlich sind "Für alle x gilt F(x)" und "F(u)" für einen bestimmten Term u, nicht dieselbe Aussage. Die Tatsache, daß beide wahr sind, ändert daran nichts. Aber die Tatsache, daß die eine wahr und die andere falsch sein kann, zeigt dir, daß es verschiedene Aussagen sind.

Zitat:

Trotzdem: Ich nehme einfach alle (unendlich vielen) Wahrheiten im Standardmodell der natürlichen Zahlen als Axiome und hätte damit einen Kalkül, der korrekt und vollständig wäre. Wir wüßten zwar nicht, wie wir so einen Kalkül praktisch aufstellen sollten, aber er wäre auch nicht logisch unmöglich.


Was daran falsch ist und warum das nichts mit Gödels Unvollständigkeitssätzen zu tun hat, wurde dir ja bereits oben erklärt. (Besser als ich das könnte.)
14.03.2019, 17:07 Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von index_razor
Zitat:
Original von Pippen
Zitat:
Original von index_razor
Wie wär's damit: Man weiß, daß es unendlich viele Zahlen gibt. Und zu jeder Zahl n gibt es eine wahre Aussage der Form "Es gibt ein m, so daß m = n+1".


Ok, aber dann machst du folgendes: "Für alle m gilt: es gibt ein m, so dass m = n+1". Jetzt hast du auf einmal unendliche viele Aussagen in einer zusammengefasst.


Du meinst sicher "Für alle n gilt..." Das ist dann lediglich eine weitere wahre Aussage. Die anderen gibt es trotzdem noch.


Sie werden aber von der Allaussage erfasst, d.h. es gibt keinen einzigen Fall, wo eine deiner Einzelaussagen irgendetwas Wahres hinzufügt, was nicht bereits durch die Allaussage ausgedrückt wird. Damit können wir die wahren Einzelaussagen unter den Tisch fallen lassen.

Zitat:
Zitat:

Trotzdem: Ich nehme einfach alle (unendlich vielen) Wahrheiten im Standardmodell der natürlichen Zahlen als Axiome und hätte damit einen Kalkül, der korrekt und vollständig wäre. Wir wüßten zwar nicht, wie wir so einen Kalkül praktisch aufstellen sollten, aber er wäre auch nicht logisch unmöglich.


Was daran falsch ist und warum das nichts mit Gödels Unvollständigkeitssätzen zu tun hat, wurde dir ja bereits oben erklärt. (Besser als ich das könnte.)


Falsch ist daran nichts, es ist sogar trivial richtig, nur - so verstand ich es - hat es mit Gödel's Unvollständigkeitssätzen nicht zu tun, weil's Gödel um einen Algorithmus für einen korrekten und vollständigen Kalkül ging und den gibt's wirklich nicht.
14.03.2019, 18:00 index_razor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Sie werden aber von der Allaussage erfasst, d.h. es gibt keinen einzigen Fall, wo eine deiner Einzelaussagen irgendetwas Wahres hinzufügt, was nicht bereits durch die Allaussage ausgedrückt wird. Damit können wir die wahren Einzelaussagen unter den Tisch fallen lassen.


Die Frage war, ob es unendlich viele "Wahrheiten" (von mir interpretiert als: "unendlich viele verschiedene/nicht-äquivalente wahre Aussagen") über die natürlichen Zahlen gibt oder nicht. Das kannst du natürlich nicht dadurch widerlegen, daß du alle außer endlich vieler solcher Aussagen "unter den Tisch fallen" läßt.

Wenn du alle Aussagen unter den Tisch fallen läßt, die aus endlich vielen wahren Aussagen folgen, bleiben außerdem immer noch unendlich viele wahre Aussagen über die natürlichen Zahlen übrig.

Zitat:

Zitat:
Zitat:

Trotzdem: Ich nehme einfach alle (unendlich vielen) Wahrheiten im Standardmodell der natürlichen Zahlen als Axiome und hätte damit einen Kalkül, der korrekt und vollständig wäre. Wir wüßten zwar nicht, wie wir so einen Kalkül praktisch aufstellen sollten, aber er wäre auch nicht logisch unmöglich.


Was daran falsch ist und warum das nichts mit Gödels Unvollständigkeitssätzen zu tun hat, wurde dir ja bereits oben erklärt. (Besser als ich das könnte.)


Falsch ist daran nichts, es ist sogar trivial richtig, nur - so verstand ich es - hat es mit Gödel's Unvollständigkeitssätzen nicht zu tun, weil's Gödel um einen Algorithmus für einen korrekten und vollständigen Kalkül ging und den gibt's wirklich nicht.


Es ist immerhin falsch nach der Interpretation des Wortes "Axiom", die fordert, zumindest entscheiden zu können, ob eine gegebene Aussage ein Axiom ist oder nicht. Ich bin kein Logiker und überlasse deswegen gern anderen die Definition des Begriffs "Axiom". Aber die Entscheidbarkeit der betrachteten Satzmenge ist soweit ich weiß wesentlich in der Aussage der Unvollständigkeitssätze. (Das ist meines Wissens auch der einzige Punkt, bei dem die Existenz irgendeines Algorithmus hier eine Rolle spielt.)
14.03.2019, 18:05 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch ist, dass es endlich viele wahre Aussagen gibt. Das haben wir oben bewiesen.
Wahr ist, dass Pippen elementaren Wahrheiten widerspricht.

Falsch ist, dass Gödel von Algorithmen spricht. Er hat die Unvollständigkeitssätze bewiesen.
Wahr ist, dass Pippen weder die Unvollständigkeitssätze noch ihre Beweise versteht.
14.03.2019, 19:10 zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von index_razor
Es ist immerhin falsch nach der Interpretation des Wortes "Axiom", die fordert, zumindest entscheiden zu können, ob eine gegebene Aussage ein Axiom ist oder nicht.

Eine Menge von Axiomen sollte mindestens rekursiv aufzählbar sein, d.h. informell, dass sich gerade diejenigen Sätze erkennen lassen, die Axiome sind. Eine Axiomenmenge muss i.a. nicht entscheidbar sein, was bedeuten würde, dass auch erkennbar wäre, wenn ein Satz nicht in der Axiomenmenge läge (der Algorithmus darf für diese Fälle divergieren).
14.03.2019, 19:19 index_razor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von index_razor
Es ist immerhin falsch nach der Interpretation des Wortes "Axiom", die fordert, zumindest entscheiden zu können, ob eine gegebene Aussage ein Axiom ist oder nicht.

Eine Menge von Axiomen sollte mindestens rekursiv aufzählbar sein, d.h. informell, dass sich gerade diejenigen Sätze erkennen lassen, die Axiome sind. Eine Axiomenmenge muss i.a. nicht entscheidbar sein, was bedeuten würde, dass auch erkennbar wäre, wenn ein Satz nicht in der Axiomenmenge läge (der Algorithmus darf für diese Fälle divergieren).


Ok, ich meinte mich zu erinnern, daß eine axiomatisierbare Theorie eine ist, deren Aussagen Folgerungen aus einer entscheidbaren Menge von Sätzen sind. Ist das korrekt? Deswegen nahm ich an, Axiomensysteme müßten vielleicht sogar entscheidbar sein. Pippens Menge scheitert allerdings auch an der Aufzählbarkeit und deswegen ebenfalls in diesem Sinne als "Axiomensystem" aus.
14.03.2019, 19:37 zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von index_razor
Ok, ich meinte mich zu erinnern, daß eine axiomatisierbare Theorie eine ist, deren Aussagen Folgerungen aus einer entscheidbaren Menge von Sätzen sind. Ist das korrekt?

Ja, denn man kann aus einer rekursiven aufzählbaren Axiomatisierung immer eine entscheidbare Axiomatisierung bekommen (Satz von Craig).

Zitat:
Original von index_razor
Deswegen nahm ich an, Axiomensysteme müßten vielleicht sogar entscheidbar sein.

Technisch gesehen nicht strikt notwendig, es genügt aber sich darauf einzuschränken. smile

Zitat:
Original von index_razor
Pippens Menge scheitert allerdings auch an der Aufzählbarkeit und deswegen ebenfalls in diesem Sinne als "Axiomensystem" aus.

Korrekt.
14.03.2019, 20:52 index_razor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von index_razor
Ok, ich meinte mich zu erinnern, daß eine axiomatisierbare Theorie eine ist, deren Aussagen Folgerungen aus einer entscheidbaren Menge von Sätzen sind. Ist das korrekt?

Ja, denn man kann aus einer rekursiven aufzählbaren Axiomatisierung immer eine entscheidbare Axiomatisierung bekommen (Satz von Craig).


Danke, das war meine Wissenslücke.
14.03.2019, 21:22 Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

1. Trotz der hier vorgetragenen Bedenken, die vor allem auf technischen Begrifflichkeiten beruhen, gilt mE: Wenn man alle Wahrheiten des Standardmodells IN als Axiome eines Kalküls auflisten könnte + mp als Schlussregel, dann wäre dieser Kalkül korrekt und vollständig, sogar beweisbar korrekt und vollständig.

2. ME ist es so: Die Aussage "Für alle n gilt: m = n+1" erfasst jede Einzelaussage der Art "..., 2=1+1", "3=2+1", ..., d.h. es gäbe keinen Unterschied zwischen der Wahrheit der Allaussage und all den einzelnen Wahrheiten, so dass die Allaussage stellvertretend für alle Einzelaussagen stünde. Oder anders: Das Modell von "Für alle n gilt: m = n+1" wäre gleich dem aller Einzelaussagen in Disjunktion.

Richtig ist aber, dass mir das nicht hilft, weil ich zB die Allaussage "Für alle n gilt: m = n+1" wiederum mit beliebig vielen Quantoren aufschachteln könnte und das wären verschiedene Aussagen. So ist die Aussage "Für alle n gilt: m = n+1" was anderes als "es gibt den Satz: "Für alle n gilt: m = n+1".
14.03.2019, 21:51 zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Als Theorie einer Struktur ist Th(IN) qua Definition korrekt und vollständig.
14.03.2019, 21:57 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Man kann nicht alle wahren Aussagen der Theorie, um die es Gödel geht, auflisten.
2. "Für alle n gilt: m=n+1" ist keine Aussage, denn eine Aussage ist entweder wahr oder falsch. Das trifft hier nicht zu.
15.03.2019, 17:25 index_razor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
1. Trotz der hier vorgetragenen Bedenken, die vor allem auf technischen Begrifflichkeiten beruhen, gilt mE: Wenn man alle Wahrheiten des Standardmodells IN als Axiome eines Kalküls auflisten könnte + mp als Schlussregel, dann wäre dieser Kalkül korrekt und vollständig, sogar beweisbar korrekt und vollständig.


Ja, und es gilt ebenso "Wenn du fliegen könntest, wärst du Superman". Das ist eine ebenso korrekte und uninformative Aussage über dich, wie es deine Aussage über die Theorie der natürlichen Zahlen ist.

Zitat:

2. ME ist es so: Die Aussage "Für alle n gilt: m = n+1" erfasst jede Einzelaussage der Art "..., 2=1+1", "3=2+1", ..., d.h. es gäbe keinen Unterschied zwischen der Wahrheit der Allaussage und all den einzelnen Wahrheiten, so dass die Allaussage stellvertretend für alle Einzelaussagen stünde. Oder anders: Das Modell von "Für alle n gilt: m = n+1" wäre gleich dem aller Einzelaussagen in Disjunktion.


Tut mir leid, ich kann darin keinen Sinn erkennen. "2=1+1" und "3=2+1" drücken völlig verschiedene Sachverhalte aus. Der einzige Sinn, in dem diese beiden Aussagen "dieselbe Wahrheit" darstellen, ist der, daß sie beide denselben Wahrheitswert besitzen. Das trifft natürlich auf alle wahren Aussagen zu. Also gibt es in Th(N) und jeder anderen Theorie immer nur eine einzige Wahrheit.

Zitat:

Richtig ist aber, dass mir das nicht hilft, weil ich zB die Allaussage "Für alle n gilt: m = n+1" wiederum mit beliebig vielen Quantoren aufschachteln könnte und das wären verschiedene Aussagen. So ist die Aussage "Für alle n gilt: m = n+1" was anderes als "es gibt den Satz: "Für alle n gilt: m = n+1".


Das erscheint mir konfus. Der Satz "Es gibt den Satz: 'Für alle n gilt...'" ist nicht mal in derselben Sprache formuliert wie "Für alle n gilt...". (Denn der erste Satz behauptet etwas über den zweiten.) Vielleicht willst du dem Satz "Für alle n gilt..." irgendeinen arithmetischen Term u zuordnen und dann behaupten "Es gibt ein m, so daß m=u". Es ist aber nicht gerade offensichtlich, welcher logische Zusammenhang zwischen diesem Satz und dem ursprünglichen Satz bestehen soll.

Immerhin stimmt es, daß beide Sätze verschieden sind. Das war aber auch schon für die beiden Sätze "Es gibt ein m, so daß m=1+1" und "Für alle n gilt: Es gibt ein m, so daß m=n+1" der Fall. Die waren dir allerdings irgendwie nicht verschieden genug.
17.03.2019, 08:20 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
2. "Für alle n gilt: m=n+1" ist keine Aussage


Nicht so streng, Elvis! Faßt man als Parameter auf, so bedeutet das doch: "Alle natürlichen Zahlen sind einander gleich." Es gibt also nur eine natürliche Zahl. Wenn das mal keine Aussage ist! Über diese einzige natürliche Zahl kann man sicher ganz viel sagen: ob sie rot ist, ob sie blau ist, wie sie schmeckt, ob sie klug ist, ob sie dumm ist, wie sie riecht, ob sie kurz ist, ob sie lang ist, wie sie tickt, ...

Aber jetzt halte ich besser den Mund. Denn ich bin kein Fachmann für formale Logik und Berechenbarkeitstheorie. Wenn es um Gödel, Escher oder Bach geht, halte ich mich lieber an Bach. (Wird Zeit, mich mal wieder um seine Inventionen zu kümmern.)

Ansonsten amüsiere ich mich an euren Kämpfen. Eines muß man Pippen lassen: Nach jedem Tiefschlag kommt er wieder aus der Ecke und holt erneut aus. Zwar landet er bei Elvis keinen einzigen Treffer, dazu hat er keine Kraft mehr. Aber auch Elvis vermag es nicht, den finalen Knockout zu setzen. Der Kleine ist einfach zäh. Und wenn er nicht mehr aufstehen kann, umklammert er Elvis' Knie.
Die Serie kann noch ein Weilchen fortgesetzt werden. Mit index_razor wurde gerade ein neuer Charakter eingeführt. Mal schauen, ob er bleibt und den Leuten gefällt oder bald wieder aus der Serie gekickt wird. Wenn allerdings keine neuen Spielideen mehr kommen, wird es nicht mehr lange dauern, bis sich das Publikum gelangweilt abwendet.
17.03.2019, 13:02 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Johann Sebastian Bach ... ich habe das Vergnügen, seine sämtlichen Orgelwerke zu hören, verteilt auf 16 Konzerte in drei Jahren ... das erste Konzert, die Choräle der Neumeister-Sammlung, hat bereits stattgefunden.
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