Lösung für Hilbert's Programm, zugleich Widerlegung der Gödelschen Unvollständigkeitssätze

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung für Hilbert's Programm, zugleich Widerlegung der Gödelschen Unvollständigkeitssätze
Mir ist heute eine verblüffend einfache Lösung eingefallen, mit der Gödel's Unvollständigkeitsbeweise sich als Scheinbeweise entpuppen und Hilbert's Traum doch noch gerettet werden könnte.

Ich stelle hier ein formales System vor, welches sowohl korrekt, vollständig und beweisbar konsistent ist. Darin werden schlicht alle math. Wahrheiten als Axiome hergenommen, Ableitungsregel gibt's keine. Dieses System erfüllt alle o.g. Eigenschaften und zwar beweisbar. Denn weil alle (syntaktischen) Axiome gleichzeitig (semantische) Wahrheiten sind, kann das System nur korrekt und vollständig sein und auch seine Konsistenz beweis sich selbst, denn das System besteht nur aus Formeln, die math. Wahrheiten repräsentieren, die damit syntaktisch nicht a & ~a entsprechen können (weil das semantisch zur Falschheit mind. von einer Formel führen würde, die aber ausgeschlossen ist).

Ist damit der alte Traum nicht wieder im Rennen? Wenn es auch völlig offen bleibt, wie wir zu den Axiomen/Wahrheiten kommen sollen, so beweist es doch, dass so ein System - entgegen Gödel - nicht per se unmöglich ist. Tanzen
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Für "alle mathematischen Wahrheiten" kann man das nicht machen. Aber z.B. gibt es True Arithmetic, die aus allen Sätzen besteht, die im Standardmodell der natürlichen Zahlen wahr sind. Diese Theorie ist vollständig.
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Für "alle mathematischen Wahrheiten" kann man das nicht machen.


Warum nicht? Es gibt höchstens abzählbar viele math. Wahrheiten (weil jede Wahrheit ein Satz ist). Alle axiomieren und widerlegt ist Gödel mit diesem Axiomensystem oder was meinst du?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Kontinuumshypothese eine mathematische Wahrheit?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Ist die Kontinuumshypothese eine mathematische Wahrheit?


Eins ist klar: Es ist eine math. Wahrheit oder keine. Jetzt nehme ich alle math. Wahrheiten her (darunter die eine bzgl. der C-Hypothese) und liste sie als Axiome auf. Damit hätte ich genau das System, was Gödel bestreitet. Es ist also falsch, dass jedes System mit gewisser Mächtigkeit widersprüchlich oder unvollständig ist, denn ich habe eben eines angegeben, was diese Mächtigkeit hat und widerspruchslos und vollständig ist; dieses System könnte sogar seine eigene Konsistenz trivial beweisen, weil die als Axiom irgendwo auftaucht.

Praktisch kann es so aussehen, dass wir irgendwann alle möglichen math. Aussagen p auflisten, es gibt nur abzählbar viele. Durch Kombinatorik können wir dann alle möglichen Axiomensysteme in o.g. Sinne aufstellen (denn p oder ~p muss ja wahr sein) und evtl. Schritt für Schritt eliminieren bis nur noch eins übrig bleibt. Woher wollen wir wissen, dass das nicht klappt? Vllt. haben wir ja Glück und alle bis auf eines lassen sich leicht widerlegen. Gödel schließt das nicht aus, denn sein Trick funktioniert hier nicht mehr, und widerlegt sich damit selbst.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das bringt uns enorm voran. Wenn wir alles wissen, dann wissen wir alles. Jetzt musst du nur noch alle mathematischen Wahrheiten aufschreiben, dann sind wir fertig. Warum bist du so bescheiden ? Wenn du schon dabei bist, dann schreibe doch bitte alle Wahrheiten auf.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Ist die Kontinuumshypothese eine mathematische Wahrheit?


Eins ist klar: Es ist eine math. Wahrheit oder keine.

Die Kontinuumshypothese ist jedenfalls unabhängig von ZFC.

Das angestrebte System in Hilberts Programm sollte insbesondere beim Beweis seiner eigenen Konsistenz "finitistische Methoden" benutzen. Dies wird aber durch den zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatz aber ausgeschlossen.

Dennoch gibt es Theorien, in denen man die Konsistenz von PA beweisen kann. Gentzen konnte 1936 die Konsistenz von PA in einer Theorie zeigen, die als Axiome zusätzlich zu primitiv-rekursiver Arithmetik "nur" das Prinzip der transfiniten Induktion bis zu einer gewissen "großen" (aber immerhin noch abzählbaren) Ordinalzahl annimmt. Diese Theorie enthält PA zwar nicht, in ihr kann PA jedoch interpretiert werden. Die Umkehrung gilt nicht. In diesem Sinne ist Gentzens Theorie also "stärker" als PA, obwohl PA selbst keine Teiltheorie von ihr ist.

Der Punkt ist, dass Systeme, die die Konsistenz von PA beweisen, sofern sie Erweiterungen von PA sind, nicht "finitistisch" sein können, genauer: nicht rekursiv aufzählbar. Ein System heißt rekursiv aufzählbar, wenn es ein Computerprogramm gibt, das alle Sätze, die in dem System enthalten sind, erkennt, aber keine, die nicht enthalten sind.

Edit: Auf D. Willard zurückgehend gibt es Systeme, die ihre eigene Konsistenz beweisen können, aber diese sind wesentlich schwächer als PA, sogar schwächer als Robinsons Q.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Pippen
Wenn deine Liste aller Wahrheiten fertig ist, lege bitte eine Liste aller Unwahrheiten an, indem du einfach jeden Satz der Liste aller Wahrheiten negierst. In welcher Liste steht der Gödelsatz?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sind unsere Fragen zu anspruchsvoll? Dann frage ich noch einfacher, damit es auch gewiss jeder versteht.
Gehört der Satz "Ich bin falsch." in die Liste der wahren oder in die Liste der falschen Sätze?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Sind unsere Fragen zu anspruchsvoll? Dann frage ich noch einfacher, damit es auch gewiss jeder versteht.
Gehört der Satz "Ich bin falsch." in die Liste der wahren oder in die Liste der falschen Sätze?


Aus diesem Grund ist für mich Wahrheit nur das was gewesen ist, dann muss ich mir über solche Sachen keinen Kopf machen.

Ein Satz der gewesen ist und sagt 'Ich bin falsch' ist gewesen und damit wahr. Ein Satz der nicht gewesen ist, ist niemals wahr.

Ein Satz der sagt 'Ich bin falsch'... diesen Satz zeitlich später auf das, was er gewesen ist, zu hinterfragen, führt unweigerlich ins Unverstaendnis oder ewigen Mechanismus des Fragens.

Existenz und Wahrheit sind nicht zu trennen!

Aus diesem Grund ist alles was tatsächlich existiert auch immer eindeutig.

Ein Ding kann nicht verallgemeinert werden. Du, ich, wir sind einzigartig. Punkt.Punkt...Und gute Nacht!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, Romaxx, das leuchtet sofort ein. Erich Honecker hat gesagt:"Niemand hat die Absicht, eine Mauer zu bauen." Weil er es gesagt hat, existiert dieser Satz und ist wahr. Ich war in Berlin und habe keine Mauer gesehen, also hat sie nicht existiert.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Als ich zuletzt '74 in Berlin war, konnte ich am Brandenburger Tor die Mauer bestaunen. Also existierte die Mauer.
Ist die inzwischen entfernt worden? geschockt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Romaxx sagt, Du und ich sind einzigartig. Wenn Du sagst, in Berlin war eine Mauer und ich sage, in Berlin war keine Mauer, dann existieren beide Sätze, sind also wahr. Das unterstützt die Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gestern habe ich noch bezweifelt, dass alles wahr ist, was in der Zeitung steht. Jetzt weiß ich, alles was darin steht existiert, ist also wahr. Schöne neue Welt.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht das was ich gemeint habe.

Das was dort geschrieben steht, existiert in Form einer gedruckten Zeitung. Nicht die Aussagen müssen wahr sein.

Einen Satz auf das zu hinterfragen, was er mal gesagt hat, macht nur einen Sinn, wenn ich ihn unabhängig von ihm selber bewerten kann.

Sonst ist es reiner Glaube oder stupider Mechanismus.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Weil jeder logische Kalkül stupider Mechanismus ist, kann kein logischer Kalkül alle Wahrheiten auflisten. Damit ist Pippens erster Beitrag widerlegt. Oder nicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Gehört der Satz "Ich bin falsch." in die Liste der wahren oder in die Liste der falschen Sätze?

In die Liste der überflüssigen Sätze. Nein, Elvis, du bist nicht falsch, sondern The Greatest King Of Rock'n Roll! Make Rock'n Roll Great Again!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Prost smile Rock Tanzen
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
kann kein logischer Kalkül alle Wahrheiten auflisten.


Warum sollte das nicht klappen? Es gibt die Menge aller möglichen wahren Aussagen der PA. Als Axiome des Kalküls mit mp als Schlussregel wäre ebendieser Kalkül konsistent und vollständig und könnte sich selbst sogar beweisen, weil ja alles per se wahr ist und bleiben muss. Ich gehe davon aus, dass bestreitet niemand hier.

1. Problem (elvis): wie kommen wir an die Liste aller Wahrheiten. Antwort: null Ahnung, das interessiet mich aber auch nicht, ich widerlege nur Gödel, denn der schrieb in seiner Abhandlung, dass kein formales System konsistent und vollständig sein kann (S.1, http://www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf), in dem ich just eins angebe.

2. Problem (42): Gibt es finit oder infinit (abzählbar oder überabzählbar) viele Wahrheiten von PA? ME kann man nicht beweisen, dass es nur infinit viele gibt, immerhin sind wir in der Lage über unendlich viele Dinge in einer Aussage zu reden, da liegt es durchaus im Bereich des Möglichen, dass es nur endlich viele Wahrheiten gibt. Was heißt das? Ich kann damit als Hypothese behaupten, es gäbe endlich viele arithm. Wahrheiten, die ich in einem Kalkül als Axiome benutze. Damit widerlege ich Gödel's Beweis, denn der müsste genau diese Hypothese ausschließen, um anschließend zu seinem Ergebnis "kein System der Mindestausdrucksstärke PA ist konsistent und vollständig" kommen zu können. Gödel's Beweis wäre hier unvollständig und zu kurz geraten. (Auf Gödel's rein kalküllastigen Beweis gewendet hieße das: es gibt vllt. ein Schema/Aussage, mit dem man alle Gödelsätze für ein beliebiges System konstruieren kann, so dass man dieses Schema dann einfach als Axiom hernehmen könnte und Gödel's Beweis würde nicht mehr funktionieren; Gödel schließt diese Möglichkeit nicht aus.)
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Es gibt die Menge aller möglichen wahren Aussagen der PA.

Was ist damit gemeint?

Wenn du Peano-Arithmetik meinst, so ist die Theorie gerade nicht vollständig, siehe unabhängige Sätze wie z.B. Gödelsatz oder Kontinuumshypothese.

Alternativ kann man True Arithmetic betrachten, d.h. diejenige FO-Theorie, die aus allen Sätzen besteht, die im Standardmodell der natürlichen Zahlen wahr sind. Die Theorie ist per Definition vollständig, aber sie ist nicht rekursiv aufzählbar.

Zitat:
Original von Pippen
Als Axiome des Kalküls mit mp als Schlussregel wäre ebendieser Kalkül konsistent und vollständig und könnte sich selbst sogar beweisen

Ein Kalkül ist kein Satz, also kann ein Kalkül nicht bewiesen werden.

Zitat:
Original von Pippen
2. Problem (42): Gibt es finit oder infinit (abzählbar oder überabzählbar) viele Wahrheiten von PA?

Die FO-Theorie PA ist unendlich. Sie ist überdies nicht endlich axiomatisierbar.

True Arithmetic ist überhaupt nicht axiomatisierbar, da axiomatisierbare vollständige Theorien automatisch entscheidbar sind (True Arithmetic ist nicht mal rekursiv aufzählbar).

Robinsons Q (im wesentlichen PA ohne Induktionsschema) ist endlich axiomatisierbar, aber nach Gödels Argumenten, unvollständig und ebenfalls unentscheidbar. Die inhärente Unvollständigkeit der Theorien aus Gödels Sätzen liegt also nicht am Induktionsschema. Tatsächlich kann keine axiomatisierbare konsistente Erweiterung von Q vollständig sein. Insbesondere kann eine solche Theorie auch nicht die eigene Konsistenz beweisen.

Presburger-Arithmetik (im wesentlichen PA ohne Multiplikation) ist vollständig, kann aber seine eigene Konsistenz nicht beweisen. Zwar ist diese Theorie sogar entscheidbar, aber der Entscheidungsalgorithmus liegt in . Darüberhinaus ist die Presburger-Arithmetik ziemlich schwach, für Hilbert sicherlich zu schwach.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Es gibt die Menge aller möglichen wahren Aussagen der PA.


Was meinst du mit "möglich" ? Meinst du die Menge aller wahren Aussagen der Peanoarithmetik ? Existenz einer Menge ist nicht gleichbedeutend mit Existenz einer Liste, die genau die Elemente der Menge enthält. Die Menge der natürlichen Zahlen kann man auch nicht als Liste aufschreiben. Man kann eine Liste der natürlichen Zahlen schreiben, die früher oder später jede natürliche Zahl enthalten wird, dafür braucht man aber unendlich viel Zeit. Bei der Menge der wahren Aussagen der Peanoarithmetik ist nach Gödel nicht einmal das möglich.

Zitat:
Original von Pippen
Als Axiome des Kalküls mit mp als Schlussregel wäre ebendieser Kalkül konsistent und vollständig ...


Du hast die Liste nicht, also nicht den Kalkül, von dem du redest.

Zitat:
Original von Pippen
Ich gehe davon aus, dass bestreitet niemand hier.


Deine Annahme ist falsch, jeder hier bestreitet das.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich beantworte zZ jede der folgenden Fragen mit 'JA'. Und ihr? Wenn 'Nein', dann warum?

1. Es gibt eine Menge mit allen Aussagen, die in PA wahr sind.
2. Wir nehmen jede Aussage aus 1. als Axiom plus mp als Schlußregel (sowie übliche Logik, also PL) und bekommen damit einen widerspruchsfreien und vollständigen PA-Kalkül.
3. Der Kalkül aus 2. kann seine eigene Konsistenz und Vollständigkeit beweisen.
4. Es ist nicht ausgeschlossen, dass der Kalkül aus 2. nur endlich viele Axiome hätte, weil die Menge aus 1. nur endlich viele Wahrheiten hat (weil man evtl. unendlich viel Wahres per endlich vieler wahrer Aussagen ausdrücken kann).
5. Weil 4. nicht ausgeschlossen ist, ist nicht ausgeschlossen, dass ein PA-ausstrucksstarkes Kalkül mit endlich vielen Axiomen existiert, welches konsistent und vollständig ist (für Kalküle mit unendlich viele Axiomen sowieso, siehe 2.).
6. Wg. 5. hat Gödel's Beweis einen blind spot.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

2. geht nicht. Aus einer Menge, die man nicht hat, kann man nicht etwas nehmen. Am 10.02. habe ich schon gesagt "Wenn wir alles wissen, dann wissen wir alles." Das ist einfach nur absurd.

6. Außerdem kennen wir Gödels Unvollständigkeitssätze und ihre Beweise. Wenn du diesen Sätzen widersprichst, musst du unrecht haben. q.e.d.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Aus einer Menge, die man nicht hat, kann man nicht etwas nehmen.


Es gibt aber - offensichtlich - die Menge aller wahren Aussagen in PA. Das folgt schlicht aus der Logik, wonach alle Aussagen entweder wahr oder falsch sind. Man muss eine Menge nicht "haben", d.h. überblicken oder was auch immer du damit meinst.

Zitat:

6. Außerdem kennen wir Gödels Unvollständigkeitssätze und ihre Beweise. Wenn du diesen Sätzen widersprichst, musst du unrecht haben. q.e.d.


Es gibt Scheinbeweise oder unterbestimmte Beweise. Ich sage, dass Gödel übersehen hat, dass man alle Wahrheiten von PA als Axiome hernehmen könnte und das sogar nur endlich viele Axiome sein könnten, obwohl es unendlich viele Wahrheiten gibt, weil wir nämlich unendlich Vieles durchaus durch endlich viele Aussagen ausdrücken können, man schaue sich nur mal das Unendlichkeitsaxiom in ZFC an.

Als Scheinbeweis entpuppt sich Gödel, wenn er folgert, dass alle mind. PA-ausdrucksstarken & konsistenten Systeme unvollständig sein müssen, weil ich eins angebe: nimm alle PA-Wahrheiten, stopfe sie als Axiome in ein Kalkül und fertig ist ein notwendigerweise konsistentes und vollständiges System. Ich kann aber nachvollziehen, dass sich Gödel aus dieser Schlinge nochmal rauswinden könnte, indem er erwidert: ja, es ging mir aber immer nur um Systeme mit endlich vielen Axiomen und dein Kalkül hätte womöglich unendlich viele Axiome.

Ok, aber dann bleibt ein blinder Fleck: weil die Möglichkeit besteht, dass alle Wahrheiten in PA durch endlich viele Aussagen (und damit Axiome) ausgedrückt werden können, so dass mein Kalkül finit wäre. Jetzt wäre Gödel fertig. Natürlich könnte er am Ende immer herkommen und sagen: Ja, aber wir wollen doch Kalküle gerade, um die Wahrheiten erst herauszufinden, wie sollen wir die denn einfach so hernehmen? Da hätte er natürlich recht, aber das relativiert natürlich seinen Beweis erheblich, weil sein Satz "jedes mind. PA-starke System ist entweder inkonsistent oder unvollständig" nur noch eine Halbwahrheit wäre.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Egal, was du sagst, du hast unrecht. Was bewiesen ist, ist ein wahrer Satz, die gegenteilige Aussage ist falsch. Ob du es glaubst oder nicht, dein Denkfehler erwächst aus der falschen Annahme einer Liste aller Wahrheiten, die gibt es nicht.
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt doch auch Sätze, die nicht bewiesen oder widerlegt werden können.Sind diese denn jetzt wahr oder falsch ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt in jeder hinreichend starken Theorie T1 Sätze S, die in dieser Theorie T1 nicht bewiesen oder widerlegt werden können, sagt uns Kurt Gödel. In einer T1 umfassenden Theorie T2 oder einer anderen Theorie T3 kann ein solcher Satz S beweisbar oder widerlegbar und damit wahr oder falsch sein. Man weiß es nicht, ob S wahr oder falsch ist, solange man S weder beweisen noch widerlegen kann.
Dmpartyrock Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hat sich die Diskussion doch eigentlich schon längst erledigt. Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Diskussion ist seit 1930 erledigt, John von Neumann hat das nach 5 Minuten verstanden, es gibt aber auch Menschen, die es nach 90 Jahren noch nicht verstanden haben. Es tauchen ja auch täglich Winkeldreiteiler, Kreisquadrierer und Würfelverdoppler auf, die nicht verstehen können, dass die Galoistheorie vor über 200 Jahren so ganz nebenbei ihre euklidischen Konstruktionen unmöglich gemacht hat. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte mal eine solche Schrift von ca. 20 Seiten, in welcher das Parallelenaxiom aus den Restlichen "hergeleitet" wurde.
Verstanden hab' ich in dem Wust nicht wirklich etwas und habe die Schrift dann einem bekannten Geometer zukommen lassen.
Schließlich will man sich ja nicht dem Vorwurf der etablierten Arroganz ausgesetzt sehen unglücklich
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ob du es glaubst oder nicht, dein Denkfehler erwächst aus der falschen Annahme einer Liste aller Wahrheiten, die gibt es nicht.


Du vermischst Wahrheit und Beweisbarkeit. Es gibt die Menge aller wahren Aussagen in PA, nämlich das PA-Modell. Die gibt es jetzt! Wir kennen sie nur nicht (Beweisbarkeitsproblem!), aber das ändert daran nichts. Es steht auch fest - jetzt - welchen Wahrheitswert die Aussage "Elvis hat 115.456 Haare auf dem Kopf" hat. Wäre sie wahr, dann wäre sie auch jetzt schon wahr, obwohl kein Mensch wüßte, dass sie wahr ist. Genauso gibt es jetzt schon alle Wahrheiten in PA und genau deshalb könnte man sie hernehmen und als Axiome aufstellen und weil dieser Kalkül nur aus Wahrheiten bestünde hätte man einen konsistenten und vollständigen Kalkül und könnte das sogar leicht beweisen.

Nun hat 42 auf ein Problem hingewiesen: Gödel ging wohl bei seinem Beweis von finiten Systemen aus, d.h. Systemen mit nur endlich vielen Axiomen. Gäbe es daher unendlich viele Wahrheiten in PA, die man nur durch unendlich viele Aussagen (Axiome) ausdrücken könnte, dann wäre Gödels Beweis nicht tangiert, aber auch da muss ich Kurt angreifen: Das ist nämlich keinesfalls bewiesen und damit möglich. Wir können problemlos unendlich viele Wahrheiten in einem Satz ausdrücken, warum also nicht auch alle PA-Wahrheiten in endlich vielen Axiomen? Und weil Gödel das nie widerlegte, hat sein Beweis einen blinden Fleck: gelänge es uns, alle PA-Wahrheiten in endlichen vielen Aussagen auszudrücken, dann hätten wir ein System, was es nach Gödel gerade nie geben dürfte. Dass völlig unklar bleibt, wie wir dazu kommen sollen ist so irrelevant, wie bei Gödel immer unklar blieb, wie denn solche Gödelsätze überhaupt praktisch auftreten sollen und bisher hat auch noch niemand sowas gefunden. So ist das halt in der Grundlagenmathematik.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Genauso gibt es jetzt schon alle Wahrheiten in PA

Was ist hiermit gemeint? Die Theorie PA oder die Theorie bestehend aus genau den Sätzen, die in den Standard-natürlichen Zahlen wahr sind oder etwas ganz anderes?


Zitat:
Original von Pippen
Gödel ging wohl bei seinem Beweis von finiten Systemen aus, d.h. Systemen mit nur endlich vielen Axiomen.

Schon die Peano-Axiome sind unendlich viele.

Zitat:
Original von Pippen
Gäbe es daher unendlich viele Wahrheiten in PA, die man nur durch unendlich viele Aussagen (Axiome) ausdrücken könnte, dann wäre Gödels Beweis nicht tangiert, aber auch da muss ich Kurt angreifen: Das ist nämlich keinesfalls bewiesen und damit möglich.

Doch, es ist bewiesen, dass Peano-Arithmetik nicht endlich axiomatisierbar ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Pippen
Man kennt unentscheidbare Sätze der Arithmetik, die in der Mengenlehre bewiesen wurden. Gödel hat nicht nur unbestreitbar Recht, seine Unvollständigkeitssaetze sind mathematisch relevant. Statt Unsinn zu schreiben musst du Hoffmann lesen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von Pippen
Genauso gibt es jetzt schon alle Wahrheiten in PA

Was ist hiermit gemeint? Die Theorie PA oder die Theorie bestehend aus genau den Sätzen, die in den Standard-natürlichen Zahlen wahr sind oder etwas ganz anderes?


Das Standardmodell von PA, was letztlich nichts anderes heißt als: alle wahren Aussagen in der Standardinterpretation der PA-Axiome.


Zitat:
Schon die Peano-Axiome sind unendlich viele.


Ok, dann kann das ja kein Einwand von Gödel sein. Nochmal: Ich nehme alle Wahrheiten von PA (also alle Wahrheiten im Standardmodell) als Axiome und schon hätte ich diesbezüglich ein konsistentes und vollständiges Kalkül, welches man sogar mit diesen Eigenschaften beweisen könnte, weil es ja ausschließlich und mit allen Wahrheiten "gefüttert" wäre und damit gar nicht inkonsistent sein kann. Widerlegt das nicht Gödel durch Aufzeigen eines Bspkalküls, was nach Gödel unmöglich sein müsste?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
alle wahren Aussagen in der Standardinterpretation der PA-Axiome.

Dieses System nennt sich True Arithmetic (TA) und ist vollständig. Das ist kein Widerspruch zur Gödelschen Unvollständigkeit, weil TA nicht rekursiv aufzählbar ist.

TA ist nicht axiomatisierbar. Außerdem enthält diese Theorie im Unterschied zu PA kein Beweisbarkeitsprädikat und kann daher nicht im selben Sinn ihre Konsistenz ausdrücken (geschweige denn beweisen).
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
TA ist nicht axiomatisierbar.


Woher will man das wissen? Nimm alle Wahrheiten von TA als deren Axiome, womit TA axiomatisiert wäre und damit konsistent und vollständig. Ob das in endlich oder unendlich vielen Axiomen passieren kann und ob diese Axiome irgendwie rekursiv aufzählbar wären, wäre doch völlig offen. Wie will man das ausschließen, wenn man gar nicht alle Wahrheiten (und damit die Anordnung der Axiome) kennt? Gödel übersieht mE dieses Problem, weil der Blickwinkel ein völlig anderer ist:

Was wenn ich alle Wahrheiten von PA als Axiome eines Kalküls hernehme und sich herausstellt, dass diese Axiome rekurisv aufzählbar sind, weil die Wahrheiten von PA sich so anordnen lassen?

Zitat:

Außerdem enthält diese Theorie im Unterschied zu PA kein Beweisbarkeitsprädikat und kann daher nicht im selben Sinn ihre Konsistenz ausdrücken (geschweige denn beweisen).


Wenn eine Theorie nur aus Axiomen besteht, die Wahrheiten sind (und eine Schlußregel, die Wahrheit erhält), dann ist diese Theorie semantisch zwingend erfüllbar und damit syntaktisch konsistent. Da kann man mit banaler PL den Konsistenzbeweis führen, oder nicht?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Axiomatisierung ist immer eine entscheidbare Menge von Sätzen.

Eine vollständige und axiomatiserbare Theorie ist selbst entscheidbar. Daher kann TA nicht axiomatisierbar sein, weil TA als konsistente Erweiterung von Q nicht entscheidbar ist.

Als Theorie einer Struktur ist TA konsistent, aber das kann man nur extern beweisen. TA weiß nicht über sich, dass es konsistent ist. Es kann nicht mal die Aussage formulieren, konsistent zu sein (Tarskis Undefinierbarkeitssatz).
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Als Theorie einer Struktur ist TA konsistent, aber das kann man nur extern beweisen. TA weiß nicht über sich, dass es konsistent ist.


TA besteht aus allen arithmetischen Wahrheiten, ja? Also ein Kalkül, wo diese Wahrheiten Axiome sind und dazu eine Folgerungsregel wie mp. (Das ist nämlich genau das, worüber ich die ganze Zeit spreche). Dieser Kalkül muss beweisbar konsistent sein und zwar aus sich heraus, weil die Konsistenz aller arithmetischen Wahrheiten selbst eine arithmetische Wahrheit darstellt bzw. dahingehend codiert werden kann und unser Kalkül enthalte ja ALLE Wahrheiten als Axiome. Wenn sich schon die Beweisbarkeit als arithmetische Aussage codieren läßt, dann sicherlich auch die Konsistenz...und so folgt die Konsistenz als Axiom und das ist natürlich auch wahr, denn wie soll es anders sein, wenn da nur Wahrheiten im Kalkül herumschwirren.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Wenn sich schon die Beweisbarkeit als arithmetische Aussage codieren läßt [...]

Das funktioniert für TA gerade nicht. Für PA schon, aber die Konsistenz von PA ist eben unabhängig von PA selbst.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zusammenfassend gesagt kann es keinen Algorithmus, der alle im Standardmodell der natürlichen Zahlen wahren Sätze erkennen oder produzieren kann, weder in endlicher, noch in unendlicher Zeit. Und zwar aus prinzipiellen Gründen nicht.

Darüberhinaus gibt es für jede hinreichend starke Theorie (PA, ZFC,...) Sätze , die unabhängig von sind, d.h. sowohl und sind konsistent (und haben daher beide ein Modell!). Welche der Sätze ist nun "eine Wahrheit", oder ?
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