Komplexe Folge

11.02.2019, 12:09

Einstein1879

Komplexe Folge

Hallo,

wie berechnet man den Grenzwert der folgenden beiden folgen, sofern dieser besteht.

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} i^{3n} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{i^{3n}} \end{eqnarray*}$

11.02.2019, 12:11

Elvis

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Berechne jeweils die ersten 20 Folgenglieder, dann siehst du, was die Folge macht.

11.02.2019, 12:54

Einstein1879

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Okay, dass habe ich schon gemacht. Aber gibt es da nicht ein Verfahren, mit dem ich den Grenzwert berechnen kann ?

11.02.2019, 13:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Einstein1879
Aber gibt es da nicht ein Verfahren, mit dem ich den Grenzwert berechnen kann ?

Vielleicht vorher erstmal ein Verfahren anwenden welches prüft, ob überhaupt ein Grenzwert existiert. Hat die Folge beispielsweise mehrere verschiedene Häufungspunkte, dann existiert kein Grenzwert. Augenzwinkern

11.02.2019, 15:09

Elvis

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@Einstein-1879
Es ist kaum zu glauben, dass du bis n=5 gerechnet hast, sonst hättest du gesehen, dass diese Folgen divergent sind, also keine Grenzwerte haben. Es gibt keine Algorithmen, die etwas berechnen, das nicht existiert.

11.02.2019, 17:38

Einstein1879

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Einsetzen von nacheinander n=1 bis n=5 ergibt :

$\begin{eqnarray*} i^{3*1}=-i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i^{3*2}=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i^{3*3}=+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i^{3*4}=+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i^{3*5}=-i \end{eqnarray*}$

Damit erhält man mehrere veschiedene Häufungspunkte, womit die Folge divergiert.

11.02.2019, 17:58

Elvis

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Das ist eine berechtigte Vermutung. Wenn du jetzt beide Folgen bis n=20 rechnest, wird sich die Vermutung erhärten. Die Vermutung wird durch vollständige Induktion zur Gewissheit. Und dann erübrigt sich die Frage nach Grenzwerten.

11.02.2019, 18:20

Einstein1879

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@ELVIS,

dann versuche ich das doch mal mit der Vollständigen Induktion zu zeigen :

Induktionsanfang : n=1

$\begin{eqnarray*} a_1=i^{3*1}=i^3=-i \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung :

$\begin{eqnarray*} a_n=i^{3n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \epsilon \mathbb N \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt : n=(n+1)

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=i^{3(n+1)}=i^3 \cdot i^{3n}=-i \cdot i^{3n}=-i \cdot a_n \end{eqnarray*}$

11.02.2019, 18:30

Elvis

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Wohlwollend wie ich bin glaube ich das so. Was ist mit der 2. Folge ?

11.02.2019, 18:42

Einstein1879

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@Elvis,

was würdest du verbessern ? Hätte ich das in einer Klausur so korrekt gemacht ?

11.02.2019, 19:30

Elvis

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Passt schon so etwa, die Argumentation ist in Ordnung. Details einer vollständigen Induktion sehen etwas ordentlicher aus und resultieren z.B. in einer geschlossenen Formel für n modulo 4. Die Berechnung der ersten 20 Terme habe ich durchaus ernst gemeint, denn wenn ich 5 mal dieselbe Teilfolge -i,-1,i,1 sehe, dann glaube ich das auch ohne ausführliche und formal korrekte vollständige Induktion. Denke immer an Euler, Gauß, Weierstraß, die haben sich nie gescheut zu rechnen, nur durch Fleiß und Ausdauer wird man Mathematiker.

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