Kovariante Ableitung

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Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
Kovariante Ableitung
Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Sei ein glattes Vektorfeld. Zu beachten ist das
gilt.


Die Kovariante Ableitung für ein glattes Vektorfeld ist dann

.


Meine Ideen:
Ich frage mich warum für die kovariante Ableitung das gilt.
Ich kann mir das nicht erklären. Ich habe auch schon versucht auf diesen Ausdruck zu kommen leider ohne Erfolg.
Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.

Zwei LaTeX-Tags ergänzt. Steffen
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Christoffelsymbole gilt in lokalen Koordinaten . Außerdem ist . Wenn du das auf der rechten Seite einsetzt und ausrechnest, solltest du auf die linke Seite kommen.

Und noch ein Hinweis zu deiner Notation: Das Vektorfeld ist (also ohne das ).
Das, was bei dir steht, ist das Vektorfeld, angewendet auf eine Funktion: .
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey danke für deine Antwort smile

Danke für den Hinweis. Ich meinte eigentlich um genauer zu sein ein Tangentenvektorfeld auf einer regulären Fläche M. F ist die lokale Parametrisierung von M und X=... wäre dann das Vektorfeld dargestellt in lokalen Koordinaten bzgl der Tangentialbasis.


Dein Tipp habe ich befolgt:



Ab hier bin ich mir etwas unsicher. Ich denke jetzt muss ich für etwas einsetzen oder ? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das transformierst du genauso wie oben das . Und dann bildest du mit der Produktregel die Ableitung davon.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut also:

Wir setzen dann







=

=

=

=

=

Hier an dieser stelle würde ich dann m:=j setzen dann folgt



bzw.



irgendwas habe ich falsch gemacht verwirrt
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir bitte diesen Beitrag an und nicht den anderen Big Laugh
Wir setzen dann







=

=

=

=

=

Hier an dieser stelle würde ich dann m:=j für den ersten Summand einsetzen und für den 2ten Summand m:=k dann folgt




bzw.




=

So jetzt oder ? Big Laugh
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig bis zu der Stelle, an der du merkwürdigerweise für einen Summationsindex (der also alle Werte durchläuft) einen festen Index "einsetzen" willst. Das kann da nicht plötzlich als unterer Index auftauchen.
Bei den folgenden Umformungsschritten verlierst du auch noch irgendwie zwei Faktoren beim ersten Summanden in der Klammer.

Für den Summanden würde die Umformung so aussehen: Es gilt . Bei Summation über bleibt damit nur der Summand für übrig, also .

Wenn du das noch korrigierst und das Christoffelsymbol am Ende durch ersetzt (wahrscheinlich nur ein Tippfehler), stimmt deine Rechnung. smile
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten morgen Nick smile

Achso okay jetzt verstehe ich auch weshalb man aus dem m ein k bzw ein j machen kann. Alles klar vielen dank smile

Wenn du Zeit und lust hast habe ich noch eine Frage:

Die Tangentiale Divergenz von X auf M ist definiert durch:

.

Wir definieren nun für (nicht notwendigerweise) tangentiale Vektorfelder die Divergenz:



Mein Ziel ist es nun aus der eben genannten Formel die obige Formel herzuleiten bzw. möchte ich ein Zusammenhang dieser Formeln herstellen.


Wir wollen nun zeigen das für tangentiale Vektorfelder aus



gleich folgt.










Nun können wir die Vektoren in tangential und normalen Anteil darstellen:




=

ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Ich weiß auch nicht ob das so Richtig ist dieser Weg.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gerade nicht viel Zeit, deswegen nur ganz kurz:

Bei deinen Indizes ist einiges schief gegangen. Das fängt hier an:
Zitat:
Original von Mesut95


Richtig muss es heißen (bzw. wenn du das dann in einsetzt, mit einem anderen Summationsindex; das ist ja da schon vergeben).

Das mit den falschen Indizes geht dann bis zum Ende weiter.

Korrigier das erstmal, schau wie weit du damit kommst, und eröffne am besten zu der Frage einen neuen Thread. Dann ist die Chance höher, dass auch jemand anderes noch reinguckt. Ich habe erst am Wochenende Zeit, mir das anzugucken, falls sich bis dahin niemand gemeldet hat.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend Nick.

Ja mir ist das auch aufgefallen mit den Indizes Big Laugh
Okay Kein Problem. Ich werde dann ein neuen Thread eröffnen.

Danke dir smile
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Nick. könntest du dir das bitte anschauen wenn du Zeit hast ? Es ist auch kein Problem wenn es etwas länger dauert. Ich habe Zeit.



Sei X ein tangential Vektorfeld dann ist:



=


=


=

=

=
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus (wenn du die d's noch durch ersetzt; bei der Differentiation auf Mannigfaltigkeiten hat nämlich schon wieder eine ganz andere Bedeutung Augenzwinkern ).
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups war ausversehen. Sowie ich die kovariante Ableitung definiert habe, ist die auch im Buch vom Klaus Ecker. Der Bör z.B definiert die kovariante ABleitung anders. Weiß du eigentlich warum ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition der kovarianten Ableitung von C. Bär (gewöhnliche partielle Ableitung von Kurven und Orthogonalprojektion auf den Tangentialraum, dann Ausweitung auf Vektorfelder) ist vielleicht anschaulicher, hat aber den Nachteil, dass man sie nicht mehr so einfach benutzen kann, wenn es um Mannigfaltigkeiten geht, die nicht in den eingebettet sind.

Meistens sagt man erstmal nur, welche Eigenschaften die kovariante Ableitung haben soll und zeigt dann, dass sie dadurch eindeutig bestimmt ist, leitet Formeln zur Berechnung her etc.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube die Definition die ich am Anfang angegeben habe ist die kovariante Ableitung bezüglich der Komponentenfunktion in Richtung der Basis .


Nach Bär berechnen wir also die kovariante Ableitung von zwei Vektorfeldern



mit X= .

Dies ergibt für die Komponentenfunktionen genau die Definition die ich angegeben hatte.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Nick ich habe mal eine Frage wegen dem delta.

Es ist


(*)

- sind die Einträge der zweiten Fundamentalmatrix

- sind die Einträge der Weingartenabbildungs Matrix

- sind die Einträge der ersten Fundamentalmatrix.

Ich will nun aus (*) folgern.



Dafür multipliziere ich erstmal (*) mit der Matrix .




=

für k=j gilt




das ist falsch oder ?

weil hier wird über k und j summiert und das heißt

verwirrt

Wie geht es aber sonst verwirrt
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Mesut95

Du bringst die Stellung der Indizes durcheinander. Beachte folgende 3 Regeln
-------------------------------------------------------
Regel 1:
Das Kroenkerdelta hat stets einen oberen und einen unteren Index.

Regel 2:
Man kann in einem Produkt nur summieren, wenn bei einem Faktor der Index oben steht und beim anderen Faktor unten, z.B. , nicht aber

Regel 3:
Diejenigen Indizes, über welche nicht summiert wird, müssen auf beiden Seiten der Gleichung stets die gleiche Stellung haben (also beide oben oder beide unten)
-------------------------------------------------------
Wenn man Regel 3 beachtet, muss deine Ausgangsgleichung lauten



Multiplikation mit der inversen Metrix liefert

Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos. Danke für die Antwort smile

Ich benutze die Einsteinsche Summenkonvention etwas anders:

Es wird über doppelt auftretende Indizes summiert, dabei wird nicht beachtet ob diese unten oder oben stehen. (Quelle: Wiki, siehe Anhang)


@Hal9000 hat mir bereits in einem anderen Thread geholfen:


.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm mich besser nicht als Referenz für korrekte Symbolverwendung in diesem Kontext, ich hab das dort "aus dem Bauch heraus" umgeformt - ohne Beachtung der von Ehos oben genannten 3 Regeln, besser gesagt ohne Wissen, dass es diese Regeln gibt und überhaupt die Besonderheiten von oberen und unteren Indizes... Augenzwinkern

Diese ganze Einsteinsche Summenkonvention ist nichts, womit ich je vorher gearbeitet habe - im anderen Thread war mir die Argumentation in Matrixschreibweise



auch wesentlich vertrauter.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch den Fall wo man die Einsteinsche Summenkonvention so benutzt wie es Ehos beschrieben hat und das mit oberen Indizes und unteren Indizes sind genauer gesagt die ko- und kontravariante darstellung von Indizes.

Ich benutze die Einsteinsche Summenkonvention wie folgt:

Über doppelt auftretende Indizes innerhalb eines Produkts wird summiert.

Ich denke das wird gut klappen und es läuft nichts schief Big Laugh


Wiki: In der Relativitätstheorie gilt als zusätzliche Regel: Summiert wird nur, wenn der Index sowohl als oberer (kontravarianter) und als unterer (kovarianter) Index auftritt.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Mesut95
Einerseitseits verwendest du bei den Größen , , sowohl oben als auch unten indizierte Indizes. Andererseits willst keine oberen Indizes verwenden, indem du über doppelte untere Indizes summierst. Das funktioniert nicht. Entweder ganz oder gar nicht. In der Tat gibt es Bücher, wo man nur untere Indizes verwendet - aber dann konsequent. Sonst kommt man völlig durcheinander.

Die Stellung der Indizes hat keinen tiefern Sinn, sondern dient nur als Abkürzung. In der Schule hat man die Vektorkoordinaten unten indiziert, also . In der kovarianten Schreibweise indiziert man dieselben Vektorkoordinaten oben gemäß . (unten wäre besser gewesen!) Oft tritt in der Geometrie die Matrix auf, welche man als Metrik bezeichnet. Um diese Metrik in den Formeln zu vermeiden, verwendet man in der kovarainten Schreibweise die Abkürzung . Das ist also eine Abkürzung, mehr nicht.
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