Folgen Wurzelkriterium allgemein

12.02.2019, 14:18

Hball9999

Folgen Wurzelkriterium allgemein

Meine Frage:
Hallo.

Ich habe eine Frage, und zwar, wie ich bei Anwendung von z.B. des Wurzelkriteriums geeignet auflöse.

Folgendes Beispiel:
Ich habe die Reihe:

a(k) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{n+4}{\sqrt{2n^2+1}}^n \end{eqnarray*}$

Bei dieser möchte ich das Wurzelkriterium anwenden, also

$\begin{eqnarray*} {k}\sqrt{a(k)} < 1 \end{eqnarray*}$

Das k vor der Wurzel steht logischerweise für die k-te Wurzel und nicht k mal Wurzel...

Meine Ideen:
Wenn ich das nun anwende, fällt bei der Reihe nun die k-te Potenz weg ich habe also nur noch

$\begin{eqnarray*} \frac{n+4}{\sqrt{2n^2+1}} < 1 \end{eqnarray*}$

stehen.

Jetzt meine Frage wie stelle ich geeignet um? Das dieser Ausdruck für k gegen unendlich gegen [latex] \frac{1}{\sqrt{2}} [\latex] und das < 1 ist mir bewusst, jedoch habe ich ja nirgens ein limes stehen...

Also wie stellt man bei derartigen Problem richtig um, um zu zeigen, dass der Ausdruck kleiner 1 wird?

LG

12.02.2019, 14:20

Hball99999

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sorry dass ich k und n durcheinandergebracht habe...

12.02.2019, 14:46

Helferlein

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RE: Folgen Wurzelkriterium allgemein

Zitat:

Original von Hball9999
Bei dieser möchte ich das Wurzelkriterium anwenden, also

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{a(k)} < 1 \end{eqnarray*}$

Und da liegt schon der Fehler. Das Wurzelkriterium besagt, dass aus $\begin{eqnarray*} \limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a(k)|} < 1 \end{eqnarray*}$ die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}a_k \end{eqnarray*}$ folgt.

12.02.2019, 15:24

Hball99

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RE: Folgen Wurzelkriterium allgemein
Hallo.

Ja mit dem lim sup habe ich das auch schon gesehen, aber wir hatten das irgendwie nie so richtig in der Vorlesung..

Wir würde man denn dieses Problem mit lim sup lösen? Der lim sup ist ja wie ich verstanden habe der höchste Wert den der Ausdruck annehmen kann, richtig?

Du bist hier zweimal angemeldet, der User Hball9999 wird daher demnächst gelöscht. Steffen

12.02.2019, 15:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hball9999
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{n+4}{\sqrt{2n^2+1}}^n \end{eqnarray*}$

Beim ersten Hinschauen habe ich es gar nicht bemerkt, dieses "in der Luft schwebende n" - es wirkt so, als gehört es gar nicht dazu. Bis mir langsam schwante, dass du wohl eigentlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n+4}{\sqrt{2n^2+1}}\right)^n \end{eqnarray*}$

meinst...

P.S.: $\begin{eqnarray*} a(k) = \sum_{k=1}^{\infty}\ldots \end{eqnarray*}$ ist auch Unsinn. Was du vermutlich meinst ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a(k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a(k) = \left(\frac{k+4}{\sqrt{2k^2+1}}\right)^k \end{eqnarray*}$ .

12.02.2019, 15:39

Hball99

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Ja richtig.. Noch besser wäre eine Antwort ;-)

Oder verwende ich in der aufgabe dann ganz normal den limes und das ergebnis ist 1/sqrt(2) < 1 und damit ist die Reihe konvergent

12.02.2019, 22:41

Helferlein

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Letzteres, denn wenn die Funktion einen Grenzwert besitzt sind lim, limsup und liminf identisch.

13.02.2019, 19:30

Einstein1879

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Wenn man das Wurzelkriterium anwendet, dann folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n+4}{\sqrt{2n^2+1}}\right)^n}=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+4}{\sqrt{2n^2+1}}\right)=\lim_{n \to \infty} \frac{n \left(1+\frac{4}{n}\right)}{n \sqrt{2+\left(\frac{1}{n^2}\right)}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+\frac{4}{n}\right)}{\sqrt{2+\left(\frac{1}{n^2}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{2}} < 1 \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium absolut.

Für den Wert der Reihe, gilt :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{n+4}{\sqrt{2n^2+1}}\right)^n=0 \end{eqnarray*}$

13.02.2019, 19:39

Helferlein

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Das ist jetzt nicht dein Ernst, oder? Eine Reihe positiver Zahlen, deren Summe 0 ergibt? geschockt

13.02.2019, 19:48

Einstein1879

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Sorry,

natürlich nicht. Wink

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n+4}{\sqrt{2n^2+1}}\right)^n=28,5969 \end{eqnarray*}$

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