Summenumformung

13.02.2019, 14:01

M1trize

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Summenumformung

Meine Frage:
Hi,
Ich hab hier eine Aufgabe bei der ich nicht verstehe wieso hier $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{R} \end{eqnarray*}$
von der verdoppelten Summe abgezogen wird. Sollte hier nicht 1 Element der Summe subtrahiert werden wenn ich die Summe verdoppele ?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R} \sum\limits_{k=0}^{R-1} a(n) = \frac{2}{R} \sum\limits_{k=0}^{R-1/2} a(n) - \frac{1}{R} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich gehe davon aus dass wir hier, die Elemente von 0 bis R-1 halbieren.
dadurch haben wir (R+1)/2 Elemente in der Summe. Wenn ich diese verdoppele haben wir R+1 Elemente. Das bedeutet wir müssen ein Element abziehen. Ich kann mir höchstens vorstellen,dass hier die funktion die hinter a(n) steht schon eingesetzte wurde und das überschüssige Element schon subtrahiert wurde.

Danke für Hilfe

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

13.02.2019, 14:22

mYthos

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RE: Summenumformung

Zitat:

Original von M1trize

...die Elemente von 0 bis R-1 halbieren.
...

Die Elemente sicher nicht; wenn schon, die Summe verdoppeln.
Vermutlich hast du die Beziehung aus dem Zusammenhang genommen, so kann das nicht stimmen, das ist unverständlich.

Mir R multipliziert lautet die Beziehung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{R-1} a(n) = 2 \sum\limits_{k=0}^{R-1/2} a(n) - 1 \end{eqnarray*}$

Der Zählindex bei eine Summe ist normalerweise immer ganzzahlig und natürlich. Eine gebrochene Anzahl von Summanden kann es doch nicht gut geben.

Wenn der obere Zählindex rechts (R-1)/2 lauten sollte, muss R ungerade sein.

mY+

13.02.2019, 14:28

M1trize

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Ja , klar R ist ungerade in diesem Fall. Das war vorher definiert

13.02.2019, 14:30

M1trize

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Ja da hab ich die Klammer vergessen. Es ist (R-1)/2 was denn sonst...

13.02.2019, 14:37

mYthos

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Dennoch kann das doch kaum stimmen; oder $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist besonders spezifiziert.
Mache doch mal eine Probe mit n = 5; dann ist

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = a_0 + a_1 + a_2 - a_3 - a_4 \end{eqnarray*}$

mY+

13.02.2019, 14:38

M1trize

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Ich finde es nicht unverständlich. Habe ja schon die Vermutung in den Post reingeschrieben. Ich denke die funktion a(n) wurde hier eingesetzt. Dann würde es Sinne machen wenn diese Funktion
a(n) =( 2*n)/(M-1)

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13.02.2019, 14:40

M1trize

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Komisch... bei der Klammer von R meckerst du aber unterscheiden zwischen a(n) und a mit Index n tust du nicht

13.02.2019, 14:54

mYthos

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Ja klar, das habe ich ja schon geschrieben:

Zitat:

Original von mYthos
... oder $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist besonders spezifiziert.

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist das n-te Glied der Reihe, und hinter $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ steckt ja eine Funktion*, natürlich ist $\begin{eqnarray*} a(n) \end{eqnarray*}$ eine eindeutigere Schreibweise.

(*) Und, sollte diese Funktion erraten werden oder was sonst? Und was ist M?

13.02.2019, 14:57

m^

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Nicht M sondern R meinte ich sorry.
Ja keine Ahnung mir ist die Reihe unter die Nase gekommen und jetzt versuch ich das Ding zu lösen. Da ist keine Aufgabe.

13.02.2019, 15:03

M1trize

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Vielleicht ist da auch ein Fehler. Aber deswegen frag ich ja noch jemand anderes, ob ich da was übersehen hab.

13.02.2019, 15:15

HAL 9000

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Blickt eigentlich noch jemand durch in dieser symbolischen Verwirrspiel? Ich möchte jedenfalls auch noch anmerken, dass hier immer von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a(n) \end{eqnarray*}$ die Rede ist, aber mit Summationsindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ operiert wird ... vielleicht Gelegenheit für einen Neustart, also alle Formeln nach besten Wissen und Gewissen möglichst unfallfrei (oder doch zumindest unfallarm) ordentlich aufzuschreiben!

13.02.2019, 15:25

M1trize

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Ja sorry. Hier ist a(k) gemeint.

13.02.2019, 15:53

M1trize

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Wenn man ein Mensch und keine Maschine ist, kann man sich doch denken was bei der Formel gemeint war. Damit wäre bewiesen, dass ihr Maschinen seid. LOL Hammer

LOL Hammer

13.02.2019, 16:02

HAL 9000

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Eigentlich solltest du alles nochmal aufschreiben ... aber gut, dann mache ich es:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R}\sum_{k=0}^{R-1} a(k) \stackrel{?}{=} \frac{2}{R}\sum_{k=0}^{\frac{R-1}{2}} a(k) - \frac{1}{R} \end{eqnarray*}$

gilt gewiss NICHT für beliebige Folgen $\begin{eqnarray*} a(0),a(1),\ldots,a(R-1) \end{eqnarray*}$ . Es fehlt also irgendeine oder sogar mehrere Information(en) zu dieser Folge, ansonsten kann man dieser Aussage nicht zustimmen. smile

smile

P.S.: Für $\begin{eqnarray*} a(k) = \frac{2k}{R-1} \end{eqnarray*}$ kommt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R}\sum_{k=0}^{R-1} a(k) = \frac{2}{R(R-1)}\sum_{k=0}^{R-1} k = \frac{2}{R(R-1)}\cdot \frac{(R-1)R}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{R}\sum_{k=0}^{\frac{R-1}{2}} a(k) - \frac{1}{R} = \frac{4}{R(R-1)}\sum_{k=0}^{\frac{R-1}{2}} k - \frac{1}{R} = \frac{4}{R(R-1)}\cdot \frac{(R-1)(R+1)}{8} - \frac{1}{R} = \frac{R-1}{2R} \end{eqnarray*}$

Von Gleichheit keine Spur, und zwar für keine positive ungerade Zahl $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . unglücklich

unglücklich

Nachtrag: Dein komisches Gesabbel im letzten Beitrag habe ich erst gelesen, als ich den Beitrag schon verfasst hatte - dein Glück! Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.02.2019, 16:30

M1trize

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Zunächst mal Danke ich dir für die Antwort. Ja meine Humor ist Quatsch. Hammer

Hammer

Ja Mist... dann ist die Formel falsch oder was ? traurig

traurig

Was kann denn a(k) dann sein damit das ganze stimmt ?

13.02.2019, 16:36

M1trize

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Was wäre wenn die a(k) Werte von (R+1)/2 bis R-1 mit den Werten von 0 bis (R-1)/2 übereinstimmen.
dann würde das ganze doch stimmen. Das bedeutet die a(k) Werte müssen symmetrisch um (R-1)/2 sein oder ?

13.02.2019, 16:39

M1trize

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Also wenn gilt :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{R-1} \frac{2n}{R-1} = \sum\limits_{k=(R+1)/2}^{R-1} \frac{2n}{R-1} \end{eqnarray*}$

LaTeX-End-Tag korrigiert. Steffen

13.02.2019, 16:45

M1trize

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Ah moment wir sind ja ungerade also :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{(R-1)/2} \frac{2n}{R-1} = \sum\limits_{k=(R-1)/2}^{R-1} \frac{2n}{R-1} \end{eqnarray*}$

dann ist doch :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{R-1} \frac{2n}{R-1} = \sum\limits_{k=0}^{(R-1)/2} \frac{2n}{R-1} + \sum\limits_{k=(R-1)/2}^{R-1} \frac{2n}{R-1} - 1 \end{eqnarray*}$

13.02.2019, 16:51

M1trize

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Hier ist n = k.... sorry ich bin immer n gewöhnt

13.02.2019, 17:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von M1trize
Hier ist n = k.... sorry ich bin immer n gewöhnt

Dann schreib doch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{R-1}\ldots \end{eqnarray*}$ , wenn du über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ summieren willst!

Zitat:

Original von M1trize
Was wäre wenn die a(k) Werte von (R+1)/2 bis R-1 mit den Werten von 0 bis (R-1)/2 übereinstimmen.

Zählen wir mal durch:

Von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac{R-1}{2} \end{eqnarray*}$ haben wir genau $\begin{eqnarray*} \frac{R-1}{2}-0+1=\frac{R+1}{2} \end{eqnarray*}$ Summanden.

Von $\begin{eqnarray*} \frac{R+1}{2} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} R-1 \end{eqnarray*}$ haben wir genau $\begin{eqnarray*} R-1-\frac{R+1}{2}+1=\frac{R-1}{2} \end{eqnarray*}$ Summanden, also einen weniger.

Selbst wenn wir einen Summanden aus der ersten Summe weglassen, beißt sich das immer noch mit $\begin{eqnarray*} a(k) = \frac{2k}{R-1} \end{eqnarray*}$ , weil dort nun überhaupt kein Summand dem anderen gleicht.

13.02.2019, 17:27

M1trize

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Wenn :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{R-1} \frac{2*n}{R-1} = \sum\limits_{n=0}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2*n}{R-1} + \sum\limits_{n=R-1}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2*n}{R-1} - \frac{2*\frac{R-1}{2} }{R-1} \end{eqnarray*}$

Also symmetrisch um (R-1)/2

?

13.02.2019, 17:29

M1trize

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Dann ist der Wert in der Mitte ja einmal zuviel, und den subtrahier ich einfach. Und der Wert ist ja 1

13.02.2019, 17:31

M1trize

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Dabei muss ich dann davon ausgehen das:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2*n}{R-1} = \sum\limits_{n=R-1}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2*n}{R-1} \end{eqnarray*}$

13.02.2019, 17:51

M1trize

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das * Zeichen soll multiplikation sein , keine Faltung

13.02.2019, 18:01

M1trize

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Beim durchzählen sollte jetzt alles stimmen. Bei 0 haben wir 0

13.02.2019, 18:07

M1trize

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Also ich denke so stimmts. Ich brauch einfach nochmal jemanden der es überprüft.

Klo

Klo

14.02.2019, 10:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von M1trize
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{R-1} \frac{2*n}{R-1} = \sum\limits_{n=0}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2*n}{R-1} + \sum\limits_{n=R-1}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2*n}{R-1} - \frac{2*\frac{R-1}{2} }{R-1} \end{eqnarray*}$

Normalerweise steht unten der kleinere und oben der größere Index - ich nehme daher mal an, du meinst

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{R-1} \frac{2n}{R-1} = \sum_{n=0}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2n}{R-1} + \sum\limits_{n=\frac{R-1}{2}}^{R-1} \frac{2n}{R-1} - \frac{2\frac{R-1}{2}}{R-1} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. du subtrahierst das mittlere, bis dahin doppelt erfasste Glied für $\begin{eqnarray*} n=\frac{R-1}{2} \end{eqnarray*}$ einmal wieder ab. Das stimmt soweit, und es folgt damit

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{R-1} \frac{2n}{R-1} = \sum_{n=0}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2n}{R-1} + \sum_{n=\frac{R-1}{2}}^{R-1} \frac{2n}{R-1} - 1 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt aber NICHT

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{R-1} \frac{2n}{R-1} \stackrel{???}{=} 2\cdot \sum_{n=0}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2n}{R-1} - 1 \end{eqnarray*}$ ,

da die Summanden selbst in $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2n}{R-1} \end{eqnarray*}$ einerseits und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=\frac{R-1}{2}}^{R-1} \frac{2n}{R-1} \end{eqnarray*}$ andererseits nicht dieselben sind (lediglich die Anzahl der Summanden stimmt jetzt überein) - da hab ich nun schon mehrfach drauf hingewiesen, du scheinst es beharrlich zu ignorieren. Nun gut, dieses mal war es das letzte Mal, dann gebe ich es auf.

P.S.: Wenn man genau nachrechnet, dann gilt hier stattdessen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{R-1} \frac{2n}{R-1} = {\color{red}4}\cdot \sum_{n=0}^{\frac{R-1}{2}} \frac{2n}{R-1} - 1 \end{eqnarray*}$ .

14.02.2019, 13:35

mYthos

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Ein allgemeinerer Ansatz mit einer arithmetischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} a_n = b \cdot n + c \end{eqnarray*}$

führt zu dem Ergebnis

$\begin{eqnarray*} b = \frac {4(c - 1)}{(R-1)^2} \end{eqnarray*}$ , mit frei wählbarem $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .
=========================

Die Reihe lautet also: $\begin{eqnarray*} a_n = \frac {4(c - 1)}{(R-1)^2} \cdot n + c \end{eqnarray*}$

Die Rechnung ist etwas frickelig, d.h. man kann sich sehr leicht vertun (erst im 3. Anlauf war es richtig), deshalb wurden Proben durchgeführt:

$\begin{eqnarray*} R = 5, \ c = 9; \ \to \ b = 2, \ \color{red}a_n = 2n + 9 \end{eqnarray*}$

L.S: Summe = 65, R.S.: Summe = 33, 65 = 2*33 - 1
------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} R = 7, \ c = -8; \ \to \ b = -1, \ \color{red}a_n = -n - 8 \end{eqnarray*}$

L.S: Summe = -77, R.S.: Summe = -38, -77 = 2*(-38) - 1
-----------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} R = 7, \ c = 10; \ \to \ b = 1, \ \color{red}a_n = n + 10 \end{eqnarray*}$

L.S: Summe = 46, R.S.: Summe = 91, 91 = 2*46 - 1
-----------------------------------------------------------------

Das Resultat lässt sich noch für den Fall verallgemeinern, wenn der Summand auf der rechten Seite anstatt -1 allgemein d ist:

$\begin{eqnarray*} b = \frac {4(c + d)}{(R-1)^2} \end{eqnarray*}$ , mit frei wählbaren $\begin{eqnarray*} c, d \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------------

Zwischenresultate der Rechnung (mit d = -1 aus der Angabe) :

L.S. (Linke Seite): $\begin{eqnarray*} a_0 = c, \ a_{(R-1)} = (R-1)b + c; \ s_{(R-1)} = \frac R 2 [(R-1)b + 2c] \end{eqnarray*}$

R.S. (Rechte Seite): $\begin{eqnarray*} a_0 = c, \ a_{(\frac{R-1} 2)} = \frac{R-1} 2 b+ c; \ \ s_{(\frac{R-1} 2)} = \frac{R+1} 4\left(\frac{R-1} 2 b +2c \right) \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): Schreibfehler korrigiert.

mY+

14.02.2019, 22:39

M1trize

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Ah! Super ! Vielen Dank Freude

Freude

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