Rekursive Folge

13.02.2019, 18:53	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge Gegeben sei folgende alternierende Reihe. $\begin{eqnarray} a_{n+1}=2 \cdot a_n-\frac{a_n^2}{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1=1 \end{eqnarray}$ Ich soll nun zeigen, das gilt $\begin{eqnarray} 0 \leq a_n \leq 2 \end{eqnarray}$ . Ich würde dazu die Vollständige Induktion verwenden. Der Induktionsanfang ist ja trivial. Die Induktionsvoraussetzung, lautet $\begin{eqnarray} 0 \leq a_n \leq 2 \end{eqnarray}$ . Für den Induktionsschritt, gilt: $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{1}{2} \cdot a_n \cdot (4-a_n) \end{eqnarray}$
13.02.2019, 19:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist keine "alternierende Reihe" sondern eine "rekursive Folge". Für den oberen Teil des Nachweises hilft die alternative Darstellung $\begin{eqnarray} a_{n+1} = 2-\frac{1}{2}\left(2-a_n\right)^2 \end{eqnarray}$ ; den unteren Teil kann man ja bereits gut mit deinem $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{1}{2} a_n(4-a_n) \end{eqnarray}$ begründen.
13.02.2019, 19:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das die Aufgabe, die Du posten wolltest? Ich sehe hier nämlich weder eine Reihe, noch eine alternierende Folge oder Reihe. Du hast eine Rekursigleichung angegeben und den richtigen Anfang gewählt. Nutze nun für deinen letzten Term die Tatsachen, dass (1) $\begin{eqnarray} a_n \geq 0 \end{eqnarray}$ und (2) $\begin{eqnarray} a_n\leq 2 \end{eqnarray}$ . EDIT: Man sollte das Antwortfenster nicht zu lange offen lassen. HAL war schneller.
13.02.2019, 19:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Transformation $\begin{eqnarray} b_n := \frac{2-a_n}{2} \end{eqnarray}$ geht das ganze übrigens in die sehr einfache Rekursion $\begin{eqnarray} b_{n+1} = b_n^2 \end{eqnarray}$ mit Start $\begin{eqnarray} b_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ über, mit der man die Folge durch und durch beherrscht, inklusive explizite Darstellung usw.
13.02.2019, 20:05	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000, wie kommt man auf diese Transformation ?
13.02.2019, 20:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kommt auf sie, wenn man $\begin{eqnarray} a_{n+1} = 2-\frac{1}{2}\left(2-a_n\right)^2 \end{eqnarray}$ scharf ansieht. Ehrlich, gewöhn dir diese "wie kommt man auf..."-Frage ab, darauf gibt es selten seriöse Antworten.
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