Gruppe von bijektiven Selbstabbildungen

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Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe von bijektiven Selbstabbildungen
Y Teilmenge X. S(X) := { f:X->X : f bijektiv}
Man zeige, dass man S(Y) kanonisch als Untergruppe von S(X) auffassen kann.


Ich verstehe nicht, wie f:Y->Y Element von S(Y) auch ein Element von S(X) sein kann, für denn Fall, dass X!=Y.

Und das kann man ja nicht ausschließen.



Vielen Dank!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Sei f eine Permutation von Y. Wie lässt sich f geeignet zu einer Permutation auf X fortsetzen, d.h. wie lässt sich f' in S(X) definieren, sodass f'|_Y = f gilt?
 
 
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit f' |_ Y?
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Damit f Element von S(Y) sein kann, müsste man den Definitions und Wertebereich mit Komplement von X zu Y, also X\Y, vereinigen.

Meinst du das?

Aber inwiefern kann ich das?

Es muss in jedem Fall S(Y) Teilmenge S(X) gelten. Und aus (f_y = f_y) folgt ja (Definitionsbereich f_y = Definitionsbereich f_x, also Y=X)

Das ist verstehe ich aber nivht. verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du magst Recht haben, dass in einem strikten Sinne nicht Teilmenge von sein kann.

Das macht aber nichts, denn wir können mit einer bestimmten Untergruppe von identifzieren, d.h. einen Isomorphismus zwischen beiden Gruppen angeben.

Solche Identifikationen nimmt man in der Mathematik häufig vor, was auch okay ist, solange man sich darüber im Klaren ist, welche Identifikationen man vornimmt. In diesen Fällen darf man schreiben, obwohl eigentlich für einen Isomorphismus gemeint ist.

Das intendierte Vorgehen bei der Aufgabe ist: Betrachte eine Bijektion . Diese soll nun fortgesetzt werden zu einer Bijektion , d.h. soll die Bedingung für erfüllen (die abkürzende Schreibweise dafür lautet ). Wie würdest du dir ein solches basteln? Denk nicht zu kompliziert. Augenzwinkern
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre natürlich ziemlich konstruiert, aber so ginge es:

f': X -> X : x |-> x falls x kein Element Y, f(x) falls x Element Y

Damit ist f' kanonisch surjektiv, da f surjektiv ist und die Elemente in X, die nicht in Y sind werden ja durch die "identische Vorschrift" abgebildet.

Injektivität ergibt sich analog.


Ist das okay soweit?
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde dann bedeuten:

f' |_Y = f und f' bijektiv, also Y =~ Y und somit kann man ja schreiben Y Inklusion X. Sprich der erste Punkt wäre schonmal erfüllt damit Y eine Untergruppe sein kann.

Dass S(X) i.A. eine Gruppe ist habe ich bereits nachgewiesen, das würde bei S(Y) ja genauso Anwendung finden. Zu zeigen bliebe nur noch, dass e Element S(X) gleich e' Element S(Y) ist, richtig?
e = id_X und e' = id_Y

Das ist nicht das gleiche, aber ich vermute, dass man hier wieder nicht ganz im "strikten Sinne" urteilt und die Gleichheit anerkennt? Genau wie bei S(Y) Inklusion S(X)?

Habe ich das richtig verstanden?

Vielen Dank für deine tolle Hilfe, hast mir wirklich sehr geholfen bisher, danke! Freude
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

zweiundvierzig ist gerade nicht da, deswegen antworte ich mal. Ich hoffe, das ist für ihn okay.

Du hast also jetzt eine Abbildung konstruiert. Du hast schon gezeigt, dass bijektiv ist (auch wenn das noch ausführlicher geschehen könnte, vor allem die Injektivität).

Alles, was es sonst noch zu tun gibt, ist zu zeigen, dass injektiver Gruppenhomomorphismus ist, dann bist du fertig, wie zweiundvierzig schon angemerkt hat. (Daraus ergibt sich auch, dass man mit identifiziert, was du ja schon vermutet hast.)


Nebenbemerkung, die nichts mit der Aufgabe zu tun hat, aber zeigen soll, warum solche Identifikationen in der Mathematikergemeinde akzeptiert sind, obwohl sie streng mathematisch falsch sind:

Wir machen solche Identifikationen jeden Tag, und das, obwohl sie uns eigentlich nicht bewusst sind; wenn man z.B. nachvollzieht, wie definiert sind, so sieht man, dass man lediglich eine Sequenz konischer injektiver Abbildungen


hat, und dass anstatt zu schreiben ganz ganz streng mathematisch falsch wäre.

Das zeigt, dass es oft unproblematisch ist, solche Identifikationen zu machen und einfach zu schreiben. Das ist in obigem Fall ja sogar deutlich weniger verwirrend! Manchmal muss man aber auch aufpassen, dass man nicht Dinge wild miteinander identifiziert, die man nicht identifizieren sollte.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man, wie üblich in der Algebra, algebraische Strukturen nur bis auf Isomorphie betrachtet, dann sind Monomorphismen (injektive Homomorphismen) tatsächlich Inklusionen (Einbettungen) von algebraischen Strukturen. Somit ist die kanonische Schreibweise auch streng mathematisch richtig. Es kommt immer auch darauf an, an welcher Stelle im Abstraktionsprozeß die jeweilige Abstraktion vorgenommen wird.

In diesem Sinne gibt es auch nur eine einzige Gruppe, die Elemente permutiert, und das ist "die" symmetrische Gruppe der Ordnung . Von der Menge M, auf der die symmetrische Gruppe operiert, wird ebenso abstrahiert wie von den Elementen dieser Menge.
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für eure Antworten.

Also verstehe ich es richtig:
Man schreibt A Inklusion B, wenn ein Monomorphismus i: A -> B existiert (nicht zwingend ein Isomorphsimus?).

Nach der Idee, dass (da i nicht zwingend surjektiv ist) nicht zwingend jedes Element in B abgebildet wird, aber, da i injektiv ist zumindest |B| >= |A| gelten muss.
Und der Rest, also das, das man strikt als Grund dafür ansehen könnte, dass es keine Inklusion ist, betrachtet man dann als (Veranschaulichung) eine Art Verschiebung.

Dann würde der Gedanke/Veranschaulichung A Inklusion B mir einleuchten, sogar ziemlich gut, wenn man es als "Inklusion unter i" o.ä. bezeichnen würde. Man hat eben nur die, von der Abbildungsvorschrift abhängige, "Verschiebung"/Veränderung von den Elementen aus A in B.

Welche Rolle aber würde dann die Homomorphie spielen? Würde Sie die Einheitlichkeit der "Verschiebung" lediglich verstärken?

Habe ich das (von der Idee) richtig verstanden oder geht es in eine andere Richtung?




Sollte dies richtig sein, bleibt, wie KeinGastMehr bereits sagte, nur noch die Homomorphie und Injektivität zu zeigen:

Das gestaltet sich, wenn ich keinen Fehler gemacht habe, relativ leicht:


Somit haben wir: i: S(Y) -> S(X) : f |-> f': x |-> f(x) falls x Element von Y, sonst x
Damit gilt:
f,g Element S(Y); i(f o g) = i(f) o i(g) (Was man sieht, wenn man die Fälle x Element Y und sonst unterscheidet)
Also die Homomorphie

Sei nun f,g Element S(X)
Und i(f) = i(g) <=> f(x) = g(x) für alle x Element X. Da f und g per definitionem die gleichen Definitions und Wertemengen haben, ist das äquivalent zu f = g. Also die Injektivität

Habe das natürlich eig viel zu knapp niedergeschrieben, aber ist das wie es funktioniert?



VIelen Dank, Ihr helft wirklich großartig!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ralipa
Sollte dies richtig sein, bleibt, wie KeinGastMehr bereits sagte, nur noch die Homomorphie und Injektivität zu zeigen:

Deine Argumentation im weiteren ist okay, allerdings solltest du die Verifikation des Homomorphismuskriteriums explizieren, wie du schon selbst angemerkt hast. Alternativ könntest du zum Beweis der Injektivität, nachdem du bewiesen hast, dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, auch die Trivialität des Kerns beweisen, d.h. .

Zitat:
Original von Ralipa
Welche Rolle aber würde dann die Homomorphie spielen?

Es soll nicht bloß Kardinalität, sondern Struktur erhalten werden. Hier in der Aufgabe wird gezeigt, dass, wenn , die Gruppe auf naheliegende Art und Weise als Untergruppe (Unterstruktur) von aufgefasst werden kann. (Abgesehen davon, dass man im endlichen Fall meistens ohnehin nur Permutationsgruppen auf betrachtet, siehe Elvis' Beitrag.)

Gilt übrigens für eine Permutation und ein Element , so nennt man auch Fixpunkt von . Die Elemente von kann man also beschreiben als diejenigen Permutationen auf , deren Fixpunktmengen das Komplement enthalten ("Permutationen, die festhalten/fest lassen").
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke dir erstmal, wirklich super.
Ich werde meine Lösung später noch explizit posten. Dann sehen wir mal, ob es überhaupt richtig ist.


Allerdings ist mir diese algebraische Inklusionsschreibweise noch nicht ganz klar. Ich denke das wirkliche Verständnis erfordert auch Erfahrung, braucht also etwas Zeit, aber ich würde gerne kurz nochmal nachfragen:
Du sagst "In diesen Fällen darf man A&#8834;B schreiben, obwohl eigentlich i(A)&#8834;B für einen Isomorphismus i:A&#8594;i(A) gemeint ist."

Also wenn A =~ B isomorph sind, kann man A Inklusion B schreiben.
Wenn also ein Isomorphismus A->B existiert, dann ja auch einer B->A. Kann man also sowohl A Inklusion B als auch B Inklusion A schreiben? Das erscheint mir komisch.

Sowohl KeinGastMehr als auch Elvis sprechen dann von Monomorphismen, die eine Inklusion begründen. Was also nun, ein Isomorphismus, oder reicht auch ein Monomorphimus?

Ansonsten würde ich diesen Notationsgedanken so auffassen:
Die Homomorphie, Injektivität (und Surjektivität also Bijektivität, je nach dem ob Mono- oder Isomorphismus) gewährleisten also eine ausreichende strukturelle Ähnlichkeit um im algebraischen Sinne die Inklusion zu schreiben. Da man (wie ich es verstehe) in der Algebra die Strukturen betrachtet und diese ja ähnlich genug sind.
So würden dann also auch Sätze wie "der Gruppenhomomorphismus [...] eine [...] Eigenschaft besitzt, welche G/N bis auf kanonische Isomorphie eindeutig charakterisiert" zustandekommen?
Man hier also von Eindeutigkeit bis auf kanonische Isomorphie spricht, denn Isomorphie würde bedeuten, dass die Struktur so ähnlich wäre, dass es mehr Sinn machen würde zu sagen es ist eindeutig, als es gibt noch andere, die aber ohnehin strukturell gleich sind.

Verstehe ich das einigermaßen richtig?



Fragen über Fragen. Eine habe ich noch:

Wieso sollte man nicht IN Inklusion IZ Inklusion IQ Inklusion IR schreiben können (formal korrekt)? verwirrt
zB:
(IN Inklusion IZ) :<=> (Für alle n € IN : n € IZ)
Wieso ginge das nicht? [Mir ist nur die Dedekind-Peano-axiomatisierte Konstruktion von IN bekannt]


Vielen Dank!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man unterscheidet folgende strukturerhaltende Abbildungen in der Algebra
Homomorphismus
Monomorphismus injektiver Homomorphismus, auch geschrieben als
Epimorphismus surjektiver Homomorphismus
Isomorphismus bijektiver Homomorphismus, auch geschrieben als
Endomorphismus homomorphe Selbstabbildung
Automorphismus bijektive homomorphe Selbstabbildung

Isomorphe Strukturen sind algebraisch nicht unterscheidbar, deshalb versteht man unter einer algebraischen Struktur auch einfach die Klasse aller zu isomorphen Strukturen. In diesem Sinne gibt es genau eine Gruppe mit einem Element . Wenn man kleinlich ist, gibt es unendlich viele Gruppen mit einem Element

Ein Homomorphismus heißt "kanonisch", wenn er nicht von der Wahl unterschiedlicher Gegebenheiten abhängt sondern allein durch die beteiligten Strukturen definiert wird. Zum Beispiel ist der Dualraum eines Vektorraums isomorph zu , aber der Isomorphismus, den man da angeben kann, hängt nicht nur an und sondern auch an einer Basis von . Der Bidualraum ist also isomorph zu und isomorph zu , weil Isomorphie eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der Strukturen ist. Für den Isomorphismus braucht man keine Basen der Vektorräume, man kann ihn direkt hinschreiben, das heißt kanonisch.

Es gibt viele Systeme natürlicher Zahlen, man kann sie in arabischen Ziffern 1,2,3,... oder in Dualzahlen 0,1,10,11,... oder in römischen Zahlen I,II,III,IV,V,... eins, zwei, drei,... one,two,three,... oder in babylonischer Keilschrift oder sonstwie darstellen. Die römischen Zahlen {I,...,V,...,M,...} sind "die" natürlichen Zahlen, sie sind aber sicher keine Teilmenge der Dezimalzahlen, mit denen man die reellen Zahlen darstellen kann. Die reellen Zahlen ist die Klasse aller Systeme, die sich wie reelle Zahlen verhalten. Man kann sie definieren als Dedekindsche Schnitte, als Intervallschachtelungen, als Dezimalzahlen, als Cauchyfolgen modulo Nullfolgen und auf tausend andere Arten. Weil es Monomorphismen zwischen allen Vertretern der Klasse der natürlichen und allen Vertretern der Klasse der reellen Zahlen gibt, schreiben wir .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ralipa
Fragen über Fragen. Eine habe ich noch:

Wieso sollte man nicht IN Inklusion IZ Inklusion IQ Inklusion IR schreiben können (formal korrekt)? verwirrt
zB:
(IN Inklusion IZ) :<=> (Für alle n € IN : n € IZ)
Wieso ginge das nicht? [Mir ist nur die Dedekind-Peano-axiomatisierte Konstruktion von IN bekannt]
Vielen Dank!

Das sollte man ja auch, wie KeinGastMehr schon geschrieben hat! Zumindest meistens, es kommt natürlich auf den Kontext an. In der sogenannten math. Praxis will man die Zahlen benutzen und möglichst nicht darüber nachdenken, wie sie konstruiert sind. Die Art der Konstruktion sollte auch keine Rolle spielen, da man irgendwann vorher bewiesen hat, dass verschiedene Konstruktionsweisen (Äq.-Klassen von Cauchyfolgen vs. Dedekindsche Schnitte etc.) isomorphe Strukturen liefern.

Wenn es darum geht, diese Zahlenmengen erst zu konstruieren, muss man die entspr. Strukturen natürlich zunächst noch unterscheiden, da man die Isomorphie noch nicht bewiesen hat.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es. Wir dürfen von den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen sprechen, weil wir bewiesen haben, dass es von beiden Strukturen bis auf Isomorphie jeweils genau eine gibt. Stellen wir sie als Punkte der euklidischen Geraden dar, so sind die natürlichen Zahlen offensichtlich in die reellen Zahlen eingebettet.
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Antworten!

Da wird so einiges klarer. Jetzt verstehe ich auch erst den Sinn dessen, dass man irgendwelche Isomorphien beweist. Den Sinn habe ich nie verstanden, doch jetzt, verstehe ich, dass es verdammt genial und aussagekräftig ist die Isomorphie algebraischer Strukturen zu beweisen, da sie somit algebraisch das Gleiche sind.

Die Inklusionsschreibweise ist ebenfalls verständlich, denn sollte der Homomorphismus nicht injektiv sein, könnte es auch sein, dass zB jedes Element der Definitionsmenge auf eines aus der Wertemenge abgebildet wird und dann wäre es sinnlos zu sagen, dass die beiden Mengen algebraisch gleich wären nur weil sie homomorph sind. Aber wenn sie injektiv ist, ist klar, dass zumindest der Teil, der abgebildet wird in der Wertemenge, also das Bild, algebraisch gleich mit der Definitionsmenge ist, da sie ja homomorph sind. Also bietet sich eine Inklusionsschreibweise an.

Andersrum könnte man doch bei Epimorphie eine Inklusion andersherum (also bei e: A->B: B Inklusion A) erwägen? Denn es ist Bild(e) = B und A und B sind homomorph, nur es könnte sein, dass mehrere Elemente in A auf das Gleiche in B abgebildet werden. Daher wäre nur B Inklusion A zulässig und nicht andersherum.
Was meint ihr zu der Überlegung?



Und den Punkt mit den Zahlenbereichen habe ich so verstanden:

Die Konstruktionen der Zahlenräume/Algebraischen Strukturen sind natürlich stets andere, weshalb es streng genommen falsch wäre von einem Element der natürlichen Zahlen zu sprechen und zu sagen, es wäre auch ein Element von den Reellen. Denn in den Reellen wird zwar ein (in der Vorstellung) gleiches Element konstruiert, aber es wird anders konstruiert und ist daher nur in der Vorstellung gleich (und kommt in der Praxis natürlich auf dasselbe hinaus).
Da man nun Momomorphie bewiesen hat macht es Sinn die Inklusionskette zu schreiben, da man weiß, dass sich zB IN in IZ algebraisch genau gleich verhält (über dem Monomorphismus). Da er aber nicht surjektiv ist kann man nur die Inklusion schreiben. Analog für die anderen Bereiche.

Habe ich das richtig verstanden?
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Am Anfang kleiner Fehler:

.... könnte es auch sein, dass zB jedes Element der Definitionsmenge auf !!DAS GLEICHE!! aus der Wertemenge abgebildet wird und dann wäre es sinnlos zu sagen, .....



So ist es richtig, entschuldigt bitte Wink
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Den Vektorraum-Epimorphismus kann man auf unendlich viele Arten zu Vektorraum-Monomorphismen umkehren, denn jede im eingebettete Ebene durch den Nullpunkt ist isomorph zum . Kanonisch ist das also nicht, von daher nicht wirklich hilfreich. Ansonsten hat sich die Aufklärungsarbeit offensichtlich gelohnt, du hast etwas verstanden, das freut mich.
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Dass meine fälschliche Epimorphieinterpretation falsch ist macht folgendermaßen Sinn:
Es wird zwar jedes Element in der Wertemenge abgebildet und die Mengen sind homomorph, wenn man nun aber versucht die Wertemenge mit seinem Urbild zu identifizieren würde man für ein Element mehrere Urbilder erhalten (wenn keine Monomorphie gegeben ist). Dadurch dass würde der Identifikationsgedanke zerrissen werden, denn es sind zwar beide Mengen (Wertemenge und Urbild) homomorph, aber nicht jedem Element wird genau eines mit der gleichen Struktur / der gleichen "Funktionsweise", sondern manchen auch mehreren.

Richtig soweit?

Die anderen Strukturbeziehungen habe ich sehr gut verstanden

Du sagst wenn kein Kanonier gegeben ist, ist es nicht brauchbar. Wieso? Die Struktur durch den Morphismus ist doch dennoch gegeben?
Ralipa Auf diesen Beitrag antworten »

Tippfehler:

*keine Kanonie

Anstatt kein Kanonier
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