Wurzel 2 annähern bis auf bestimmte Stelle, Abweichung

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Topolo Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel 2 annähern bis auf bestimmte Stelle, Abweichung
Hallo!

Wie kann ich die Quadratwurzel von 2 allgemein auf die N. Stelle annähern? Also so, dass alle Nachkommastelle inkl der n. korrekt sind.

Ich habe natürlich eine Menge Näherungsverfahren gefunden, aber ich habe nichts gefunden, wo ich die Abweichung erkennen kann. Bzw weiß, dass es bis zu einer bestimmten Stelle sicher Korrekt ist.


Vielen Dank!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit zeigt dieser Beitrag und die beiden folgenden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das übliche Heronverfahren hat quadratische Konvergenzordnung, genauer gesagt folgt für die Rekursion

.

Im Falle kann man daraus sofort folgern, damit bekommt man aus die explizite Fehlerabschätzung was für die Ausgangsfolge bedeutet


Im Beispiel:

Startwert im Fall bedeutet (Grobabschätzung nach oben). Wollen wir nun auf mindestens Dezimalstellen genau haben, dann wäre hinreichend für dieses Ziel. Das kann man nach auflösen:



,

wenn ich mal mit dem dekadischen Logarithmus arbeite. Für bedeutet das beispielsweise , daher genügen Iterationsschritte, d.h. es ist erfüllt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel: Die ersten 5 korrekten Dezimalen von mit dem Heron-Ganzzahlverfahren bestimmen.

Man setzt und startet zum Beispiel mit



Die Rekursion ist



wobei ich hier mit dem Kreuz die Ganzzahldivision bezeichnen will. Man rechnet



Wir fahren fort, bis die Folge stationär wird oder zwischen zwei Werten pendelt. Der kleinere der beiden Werte ist dann die Ganzzahlwurzel.















Damit ist 244948 die Ganzzahlwurzel (abgerundete reelle Quadratwurzel) von 60000000000, also

Topolo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Antworten!
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