Welche Topologie hat die 2 Sphäre?

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Topologie hat die 2 Sphäre?
Meine Frage:
Hey Leute,

Topologie gibt es ja zunächst mal viele. Zum Beispiel diskrete Topologie aus der diskreten Metrik erzeugt oder die Standardtopologie aus der euklidischen Norm erzeugt.

Wenn ich mir jetzt die 2 Sphäre ansehen, hat die dann automatisch eine vorgegebene Topologie? Bzw. macht es Sinn zu sagen, ich statte die 2 Sphäre mit der diskreten Topologie aus?

Meine Ideen:
Ich stelle es mir bislang so vor: Man muss schauen, wie die Räume entstehen. Die 2 Sphäre entsteht (unter anderem) als Teilraum des dreidimensionalen Raums. Sie erbt damit automatisch die Standardtopologie aus Teilraumtopologie.

Was wäre aber wenn ich jetzt bereits den R^3 mit der diskreten Topologie ausgestattet hätte, dann wäre die Teilraumtopologie ja auch die diskrete.

Ich frage mich daher ob ich einfach die Topologie tauschen kann?

Danke für die Hilfe smile
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die Topologien auf einer beliebigen Menge bilden einen stetigen Verband: Man kann sie durch Mengeninklusion ordnen, beliebige Infima (Durchschnitte) existieren, ebenso wie Suprema (Erzeugte Topologie von Vereinigungen). Kleinstes Element ist die indiskrete, größtes Element die diskrete Topologie.

Auf einer Menge können viele Topologien existieren. Welche davon interessant sind, hängt wohl vom Kontext sind. Im allgemeinen sind Infima oder Suprema bestimmter Systeme von Topologien von Bedeutung, z.B. finale/initiale Topologien.

Definiert man die n-Sphäre als Teilmenge von , d.h., dann ist die kanonische Topologie die durch (die euklidische Topologie auf) induzierte Teilraumtopologie.

Man kann die n-Sphäre auch als Alexandrov-Kompaktifizierung von definieren ("Hinzufügen eines unendlich fernen Punktes"), mit einer bestimmten durch die Kompaktifzierung vorgegebenen Topologie. Die Räume und (jeweils mit den erwähnten Topologien ausgestattet) sind homöomorph zueinander, also topologisch ununterscheidbar.

Spricht man von ohne weitere Angabe, meint man i.d.R. einen Vertreter aus dieser Äquivalenzklasse bzgl. Homöomorphie, also die "Standardtopologie".

Davon abgesehen hindert dich niemand die Mengen oder mit der diskreten Topologie auszustatten.

Die entstehenden Räume sind dann nicht homöomorph zu ihren Pendants mit der euklidischen Topologie, sie sind aber zueinander homöomorph, weil ein Homöomorphismus diskreter topologischer Räume nichts anderes ist als eine Bijektion. Mit der euklidischen Topologie ausgestattet sind und natürlich nicht homöomorph (ein Raum ist kompakt, der andere nicht).
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn einfach nur so von der 2-Sphäre die Rede ist, ist immer der Homöomorphietyp der Kugelfläche, versehen mit der euklidischen Topologie, wie sie vom umgebenden dreidimensionalen Raum induziert wird, gemeint. "2-Sphäre" beinhaltet als nicht nur eine ungeordnete Punktmenge im Sinn der abstrakten Mengenlehre, sondern muß immer mit der euklidischen Raumstruktur gedacht werden.
Nun kann man nicht ausschließen, daß irgendein Topologe auf der Menge der reellen Tripel mit euklidischer Norm 1 einmal eine andere topologische Struktur betrachtet. Dann muß er das aber ausdrücklich dazusagen - und "2-Sphäre" wäre eine schlecht gewählte Bezeichnung dafür.
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