Zentrierte normale Zufallsvariable ist unabhängig

18.02.2019, 12:54

Matze345

Zentrierte normale Zufallsvariable ist unabhängig

Hallo,
habt ihr bei folgender Aufgabe ein paar mögliche Ansätze?

Also $\begin{eqnarray*} \left(X_1,...,X_n,Y_1,...,Y_n\right) \end{eqnarray*}$ ist ein zentrierte normale Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray*} CoV(X_i,Y_j)=0 \end{eqnarray*}$ für alle i und j. Dann soll $\begin{eqnarray*} \left(X_1,...,X_n\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(Y_1,...,Y_n\right) \end{eqnarray*}$ unabhängig sein.

18.02.2019, 16:40

HAL 9000

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RE: Zentrierte normale Zufallsvariable ist unabhängig
D.h. $\begin{eqnarray*} (X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n) \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ -dimensional normalverteilter Vektor (zentriert) mit der speziellen Kovarianzmatrixblockstruktur $\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{pmatrix} \Sigma_x & 0\\ 0 & \Sigma_y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (alle vier sind $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen, auch die beiden Null-Matrizen). Man überprüfe $\begin{eqnarray*} \Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} \Sigma_x^{-1} & 0\\ 0 & \Sigma_y^{-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , damit ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x^T & y^T\end{pmatrix}\Sigma^{-1}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = x^T\Sigma_x^{-1}x+y^T\Sigma_y^{-1}y \end{eqnarray*}$

und demzufolge kann man die gemeinsame Dichte

$\begin{eqnarray*} f_{(X,Y)}(x,y) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2n}\det(\Sigma)}}\exp\left(-\frac{1}{2} \begin{pmatrix} x^T & y^T \end{pmatrix}\Sigma^{-1}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

faktorisieren gemäß $\begin{eqnarray*} f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y) \end{eqnarray*}$ , was hinreichend für Unabhängigkeit ist.

22.02.2019, 09:45

Matze345

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RE: Zentrierte normale Zufallsvariable ist unabhängig
Meine erste Frage wäre, warum diese Inverse Matrix existieren muss?

Dafür müssten wir wissen das jeder Diagonaleintrag $\begin{eqnarray*} \sigma_{i,i} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich weiß allerding nur das jeder Eintrag nichtnegativ ist.

22.02.2019, 10:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matze345
Meine erste Frage wäre, warum diese Inverse Matrix existieren muss?

Weil es sonst kein normalverteilter Vektor ist!!!

https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimens...ormalverteilung

$\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ ist da vorausgesetzt als positiv definit, und damit insbesondere auch invertierbar.

Zitat:

Original von Matze345
Dafür müssten wir wissen das jeder Diagonaleintrag $\begin{eqnarray*} \sigma_{i,i} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich weiß allerding nur das jeder Eintrag nichtnegativ ist.

$\begin{eqnarray*} \sigma_{i,i}=0 \end{eqnarray*}$ würde bedeuten, dass Komponente $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ konstant ist. Sowas zählt man nicht mit zu den normalverteilten Zufallsgrößen, auch wenn vielleicht mancher denken mag, dieser Grenzfall gehört mit dazu.

Diese Voraussetzung " $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ positiv definit" bedeutet noch viel mehr, so kann man z.B. nicht einfach normalverteilte Zufallsgrößen als Komponenten eines Zufallsvektors zusammenstückeln und dann ungeprüft sagen, dies sei ein normalverteilter Vektor:

Nimmt man etwa $\begin{eqnarray*} X_1\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ und betrachtet einfach $\begin{eqnarray*} X_2:=X_1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix}X_1\\ X_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mitnichten zweidimensional normalverteilt, er ist nicht einmal zweidimensional stetig verteilt: Die Kovarianzmatrix hier $\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma^2 & \sigma^2\\ \sigma^2 & \sigma^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist offenbar singulär, und damit nicht positiv definit.

22.02.2019, 11:37

Matze345

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Ja das habe ich wenige Minuten nach dem Post auch bemerkt. Danke

22.02.2019, 14:22

Matze345

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Funktioniert der Beweis auch für $\begin{eqnarray*} \left(X_1,...,X_n,Y_1,...,Y_m\right) mit \ n \neq m \end{eqnarray*}$ ?

22.02.2019, 14:44

HAL 9000

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An sich ja: Die beiden Null-Blockmatrizen rechts oben sowie links unten in $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \Sigma^{-1} \end{eqnarray*}$ sind dann nicht mehr quadratisch, aber müssen sie ja auch nicht sein.

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