Zentrierte normale Zufallsvariable ist unabhängig

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Matze345 Auf diesen Beitrag antworten »
Zentrierte normale Zufallsvariable ist unabhängig
Hallo,
habt ihr bei folgender Aufgabe ein paar mögliche Ansätze?

Also ist ein zentrierte normale Zufallsvariable mit für alle i und j. Dann soll und unabhängig sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentrierte normale Zufallsvariable ist unabhängig
D.h. ist ein -dimensional normalverteilter Vektor (zentriert) mit der speziellen Kovarianzmatrixblockstruktur (alle vier sind -Matrizen, auch die beiden Null-Matrizen). Man überprüfe , damit ist



und demzufolge kann man die gemeinsame Dichte



faktorisieren gemäß , was hinreichend für Unabhängigkeit ist.
 
 
Matze345 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentrierte normale Zufallsvariable ist unabhängig
Meine erste Frage wäre, warum diese Inverse Matrix existieren muss?

Dafür müssten wir wissen das jeder Diagonaleintrag ist.

Ich weiß allerding nur das jeder Eintrag nichtnegativ ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matze345
Meine erste Frage wäre, warum diese Inverse Matrix existieren muss?

Weil es sonst kein normalverteilter Vektor ist!!!

https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimens...ormalverteilung

ist da vorausgesetzt als positiv definit, und damit insbesondere auch invertierbar.


Zitat:
Original von Matze345
Dafür müssten wir wissen das jeder Diagonaleintrag ist.

Ich weiß allerding nur das jeder Eintrag nichtnegativ ist.

würde bedeuten, dass Komponente konstant ist. Sowas zählt man nicht mit zu den normalverteilten Zufallsgrößen, auch wenn vielleicht mancher denken mag, dieser Grenzfall gehört mit dazu.

Diese Voraussetzung " positiv definit" bedeutet noch viel mehr, so kann man z.B. nicht einfach normalverteilte Zufallsgrößen als Komponenten eines Zufallsvektors zusammenstückeln und dann ungeprüft sagen, dies sei ein normalverteilter Vektor:

Nimmt man etwa und betrachtet einfach , dann ist mitnichten zweidimensional normalverteilt, er ist nicht einmal zweidimensional stetig verteilt: Die Kovarianzmatrix hier ist offenbar singulär, und damit nicht positiv definit.
Matze345 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich wenige Minuten nach dem Post auch bemerkt. Danke
Matze345 Auf diesen Beitrag antworten »

Funktioniert der Beweis auch für ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

An sich ja: Die beiden Null-Blockmatrizen rechts oben sowie links unten in bzw. sind dann nicht mehr quadratisch, aber müssen sie ja auch nicht sein.
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