Satz von Fubini

18.02.2019, 19:30

forbin

Satz von Fubini

Hallo Leute,

ich löse gerade $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\pi}e^{x^2}\cos(y)d(x,y) \end{eqnarray*}$ mit dem Satz von Fubini.

Ich betrachte $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}e^{x^2}\int\limits_{0}^{\pi}\cos(y)dydx = \int\limits_{0}^{1}e^{x^2}\left(\int\limits_{0}^{\pi}\cos(y)dy\right)dx = 0 \end{eqnarray*}$ .
Das ist nicht das Problem.
Meine Frage betrifft die Vertauschung der Integrale.
Ich betrachte $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\pi}\cos(y)\int\limits_{0}^{1}e^{x^2}dxdy \end{eqnarray*}$ .

Nun stelle ich fest: $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton steigend auf $\begin{eqnarray*} \lbrack 0,1\rbrack \end{eqnarray*}$ , da die Komposition streng monoton steigender Funktionen wieder streng monoton steigend ist.
Also gilt: $\begin{eqnarray*} e^{0^2} = 0\leq e^{x^2}\leq e=e^{1^2} \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt: $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\pi}\cos(y)\cdot 0 \cdot dxdy &\leq& \int\limits_{0}^{\pi}\cos(y)\int\limits_{0}^{1}e^{x^2}dxdy &\leq& \int\limits_{0}^{\pi}\cos(y)\cdot e\cdot dxdy \Leftrightarrow \\ 0 &\leq& \int\limits_{0}^{\pi}\cos(y)\int\limits_{0}^{1}e^{x^2}dxdy &\leq& e\cdot \int\limits_{0}^{\pi}\cos(y) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ist das so korrekt?

18.02.2019, 21:00

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RE: Satz von Fubini
Nein, weil $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ . Aber dein Argument lässt sich natürlich retten.

18.02.2019, 21:12

forbin

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Oh mann na klar Hammer

Gut, aber gerettet wird es dadurch, dass auf der linken Seite immernoch $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{\pi}cos(y)dy = 0 \end{eqnarray*}$ steht.

18.02.2019, 21:14

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so ist es.
Edit. Oh mann, nein, natürlich nicht. Forum Kloppe

18.02.2019, 21:17

forbin

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Cool! Danke sehr!

18.02.2019, 21:18

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Oh mann, nein, natürlich nicht Forum Kloppe

Wie soll man denn die Abschätzung begründen?
Natürlich ist $\begin{eqnarray*} 1\leq e^{x^2}\leq e \end{eqnarray*}$ aber der Cosinus wechselt das Vorzeichen

18.02.2019, 21:29

forbin

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Genau das ist nämlich der Punkt, der mich diesen Thread hat erstellen lassen verwirrt

Ich setze mich gleich nochmal daran.

21.02.2019, 16:17

forbin

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Sorry, leider kam ich erst jetzt wieder dazu mir das anzuschauen.
Allerdings sehe ich den Fehler immernoch nicht unglücklich

Wenn ich doch das Integral abschätze (nicht die Funktion cos selbst), ist mir dann der Vorzeichenwechsel nicht egal?
Ich erhalte doch $\begin{eqnarray*} 0 \leq \int\limits_{0}^{2\pi}f(x)dx\leq 0 \end{eqnarray*}$ und kann damit auf das Integral schließen, oder nicht? verwirrt

21.02.2019, 20:20

Leopold

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Weder verstehe ich dein Problem noch was du da überhaupt rechnest. Ich würde einfach sagen, daß man, weil der Integrand ein Produkt ist, dessen einer Faktor allein von $\begin{align*} x \end{align*}$ und der andere allein von $\begin{align*} y \end{align*}$ abhängt, so rechnen kann:

$\begin{align*} \int \limits_0^1 \int \limits_0^{\pi} \operatorname{e}^{x^2} \cos(y) ~ \dd y ~ \dd x \ = \ \left( \ \int \limits_0^1 \operatorname{e}^{x^2} ~ \dd x \ \right) \cdot \underbrace{\left( \ \int \limits_0^{\pi} \cos(y) ~ \dd y \ \right)}_0 \ = \ 0 \end{align*}$

Und was stört dich nun an diesem Ergebnis? Oder welche alternative Berechnungsmethode willst du anwenden? Was hast du überhaupt vor?

21.02.2019, 20:59

forbin

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Zitat:

Original von Leopold
Weder verstehe ich dein Problem noch was du da überhaupt rechnest. Ich würde einfach sagen, daß man, weil der Integrand ein Produkt ist, dessen einer Faktor allein von $\begin{align*} x \end{align*}$ und der andere allein von $\begin{align*} y \end{align*}$ abhängt, so rechnen kann:

$\begin{align*} \int \limits_0^1 \int \limits_0^{\pi} \operatorname{e}^{x^2} \cos(y) ~ \dd y ~ \dd x \ = \ \left( \ \int \limits_0^1 \operatorname{e}^{x^2} ~ \dd x \ \right) \cdot \underbrace{\left( \ \int \limits_0^{\pi} \cos(y) ~ \dd y \ \right)}_0 \ = \ 0 \end{align*}$

Und was stört dich nun an diesem Ergebnis? Oder welche alternative Berechnungsmethode willst du anwenden? Was hast du überhaupt vor?

Hallo Leopold,

das habe ich im ja auch als erstes gemacht. Es ging mir ja genau um die andere Reihenfolge. Aber für das Innere Integral finde ich ja keine Stammfunktion.

22.02.2019, 06:15

Leopold

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Da der Integrand von der Form $\begin{align*} f(x,y) = g(x) \cdot h(y) \end{align*}$ ist und die Integrationsgrenzen konstant sind, bekommst du bei umgekehrter Integrationsreihenfolge auch keinen anderen Term als den von mir angegebenen. Und da nun im Produkt ein Faktor 0 ist, hast du Glück gehabt und brauchst das andere Integral nicht zu berechnen. So ist die Aufgabe gerade gemacht. Da könnte man sich noch Hunderttausende ähnlicher Beispiele ausdenken.

22.02.2019, 18:42

forbin

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Ja ich habe mich zu sehr auf eine Aufgabe versteift, die ich eigentlich schon gelöst habe.

Vielen Dank!

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