Untergruppe des Index' 2 ist Normalteiler : Gruppe Untergruppe Normalteiler

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Untergruppe des Index' 2 ist Normalteiler : Gruppe Untergruppe Normalteiler
Meine Frage:
Moin,
noch eine Frage von mir.

Folgende klassische schon 1000 mal durchgekaute Aufgabe:
Sei H inkl. (Inklsion) G Untergruppe des Index' 2. Zeige H ist ein Normalteiler.


Ich habe einen großen Umweg eingeschlagen und bei der Kontrolle im Internet gemerkt, dass man einfach, da Nebenklassen die Gruppe zerlegen (was ich bereits andersweitig gezeigt habe), weiß, dass H G/H und gH G/H und dann wegen der Zerlegung gilt gH = G \H. Analog gilt dies natürlich für Hg, sprich gH = Hg. qed

Dennoch würde ich meinen umständlicheren Lösungsweg gerne zur Prüfung vorlegen.

Meine Ideen:
Es gilt also:

H G/H und genau eine gH G/H; gH != H <=> g G \H (1).

Man wähle g G \H und H H => gh G \H und hg G \H.

Somit also auch, wegen (1), gH = hgH und Hg = Hgh.

Nun zeige ich beide Inklusionen:
Für alle gh gH: gh = egh Hgh = Hg und somit gH inkl. Hg
Für alle hg Hg: hg = hge hgH = gH und somit Hg inkl. gH

Folglich gH = Hg, also H Normalteiler.

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
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