Gleichmäßig stetig => stetig

22.02.2019, 01:22	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßig stetig => stetig Hallo Leute, ich möchte oben genannte Aussage beweisen. Beweis: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig $\begin{eqnarray} :\Leftrightarrow \forall\epsilon>0\exists\delta(\epsilon)>0\forall x,x_0\in D : \|x-x_0\|<\delta(\epsilon)\Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ Seien nun $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ beliebig. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig, wähle $\begin{eqnarray} \delta = \delta(\epsilon) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \|x-x_0\|<\delta(\epsilon)\Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|<\epsilon \Rightarrow \forall\epsilon>0\forall x,x_0\in D\exists\delta(\epsilon)>0 : \|x-x_0\|<\delta(\epsilon)\Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\| \end{eqnarray}$ . Damit ist f stetig. Reicht das? Ist das "analytisch" genug?

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