Stossanzahl beim Transrapid-Vorfall

24.02.2019, 15:49

Dopap

Stossanzahl beim Transrapid-Vorfall

Der reibungsfreie 100 Tonnen schwere Transrapid kann nicht mehr bremsen und droht am Ende des Bahnhofes am Prellbock zu zerschellen.
Ein schnelles chinesisches brainstorming ergab:
Man stellt den Messwagen von 0.2t auf die "Schienen" und lässt diesen dann zwischen Rapid und Prellbock mit elastischen Stößen pendeln bis der Rapid ohne weitere Stösse den Bahnhof verlässt.

1.) Mit insgesamt wieviel Stößen wird das passieren ?

Nun, das kann man o.B.d.A. mit $\begin{eqnarray*} m=1\quad M=500 \quad V_0=-1\text{ und } v_0=0 \end{eqnarray*}$ vereinfachen und es gilt allgemein

$\begin{eqnarray*} V_1=2\frac {MV_0 + mv_0 }{M+m}-V_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1=2\frac {MV_0 + mv_0 }{M+m}-v_0 \end{eqnarray*}$ und so weiter und so weiter und ein zwischenzeitliches eventuelles negatives $\begin{eqnarray*} v_k<0 \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} v_k>0 \end{eqnarray*}$ ersetzt, da der Messwagen am linken Prellbock refektiert.

2.) wenn $\begin{eqnarray*} M=10^{n} \end{eqnarray*}$ und n gerade ist, welcher Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac {i}{10^{\frac n2}} \end{eqnarray*}$ ist dann zu erwarten?

25.02.2019, 15:41

HAL 9000

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Der Prellbock muss aber auch einiges aushalten:

Zwar fährt kein 100t-Transrapid mit (sagen wir mal) 100km/h auf ihn, aber immerhin ein 0.2t-Messwagen mit über 2200km/h - ist energiemäßig (natürlich) dasselbe. Augenzwinkern

P.S.: Mit diesen 2200km/h stößt der Messwagen natürlich auch auf den Transrapid ... na dann gutes Gelingen! Big Laugh

25.02.2019, 18:09

Dopap

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richtig und auch die mittlere zeitliche Impulsänderung des Rapids dürfte beim Umkehr"punkt" ziemlich heftig ausfallen.
am Matheboard sollten man nicht zu physikalisch werden Augenzwinkern

so gut wie keine Sachaufgabe wäre z.B:

zwischen den verspiegelten y=0 und y=mx, mit x,y>0 wird ein Laserstrahl mit Richtung $\begin{eqnarray*} \binom {-1}{0} \end{eqnarray*}$ aus dem Winkelfeld heraus gesendet.
Dieser wird nun zig-mal reflektiert und kehrt dann ohne weitere Reflektionen zurück.
Anzahl der Reflektionen in Abhängigkeit vom Öffnungswinkel $\begin{eqnarray*} \epsilon \,\lor m\, \to 0 \end{eqnarray*}$ ?

damit kann doch auch ein Mathematiker gut leben Augenzwinkern

25.02.2019, 23:22

Dopap

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die etwas knifflige Simulation auf dem TR bringt:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	M/m i n i/10^(n/2) ------------------------------------------------ 100 31 2 3,1 10.000 313 4 3,13 1.000.000

EDIT: 314 in Zeile 5, da hat der letzte Stoss auf sich warten lassen.

jetzt könnte man ein schnelles Programm gebrauchen.

27.02.2019, 01:56

Dopap

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der nächste und bestimmt letzte Sprung ist geschafft:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	M/m i n i/10^(n/2) ------------------------------------------------ 100 31 2 3,1 10.000 314 4 3,14 1.000.000 3141 6 3,141

hier ist der Gedanke an $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ naheliegend.
Bisher ist mir leider noch nichts passendes zum Beweis der Vermutung eingefallen.

27.02.2019, 10:21

HAL 9000

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Dein

$\begin{eqnarray*} V_{n+1} &=& 2\frac{MV_n+mv_n}{M+m} - V_n\\ v_{n+1} &=& -2\frac{MV_n+mv_n}{M+m} + v_n \end{eqnarray*}$

kann man als Differenzengleichungssystem betrachten (ich hab mal im Unterschied zu deinen Formeln oben bei $\begin{eqnarray*} v_{n+1} \end{eqnarray*}$ bereits das Vorzeichen gedreht, was der Reflexion am Prellbock entspricht). Um etwas Schreibarbeit zu sparen, verwende ich mal $\begin{eqnarray*} \mu=\frac{m}{M+m} \end{eqnarray*}$ , damit ist dann

$\begin{eqnarray*} V_{n+1} &=& (1-2\mu)V_n + 2\mu v_n\\ v_{n+1} &=& -2(1-\mu)V_n + (1-2\mu) v_n \end{eqnarray*}$

mit den Startwerten $\begin{eqnarray*} V_0=-1,v_0=0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt könnte man beispielsweise $\begin{eqnarray*} V_n \end{eqnarray*}$ eliminieren und gelangen zur Differenzengleichung zweiter Ordnung

$\begin{eqnarray*} v_{n+2} &=& 2(1-2\mu)v_{n+1} - v_n \end{eqnarray*}$ .

Deren charakteristische Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 2(1-2\mu)\lambda + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} \lambda = \exp(\pm i\varphi) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi = \arccos(1-2\mu) \end{eqnarray*}$ , entsprechend ist $\begin{eqnarray*} v_n = C_1\cos(n\varphi) + C_2\sin(n\varphi) \end{eqnarray*}$ mit irgendwelchen Konstanten $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} v_0=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} C_1=0 \end{eqnarray*}$ , und damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} v_n\approx 0 \end{eqnarray*}$ erst wieder für $\begin{eqnarray*} n\varphi \approx \pi \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} n \approx \frac{\pi}{\varphi} = \frac{\pi}{\arccos(1-2\mu)} = \frac{\pi}{\arccos\left(1-\frac{2m}{M+m}\right)} \end{eqnarray*}$

Nun ist (Taylorreihe!) $\begin{eqnarray*} \arccos\left(1-\frac{x^2}{2}\right)\approx x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|\ll 1 \end{eqnarray*}$ , damit folgt $\begin{eqnarray*} n \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{M}{m}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} M\gg m \end{eqnarray*}$ , im Falle von $\begin{eqnarray*} M=10^{2k},m=1 \end{eqnarray*}$ also tatsächlich $\begin{eqnarray*} n \approx \frac{\pi}{2} 10^k \end{eqnarray*}$ . Dazu muss man sagen, dass mein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nur die Stöße Messwagen-Transrapid zählt, die Stöße Messwagen-Prellbock hingegen nicht.

EDIT: Mit Darstellung $\begin{eqnarray*} \varphi = 2\arctan\left(\sqrt{\frac{m}{M}}\right) \end{eqnarray*}$ (s.u.) wird das ganze zu $\begin{eqnarray*} n\approx \frac{\pi}{\varphi} = \frac{\pi}{2\arctan\left(\sqrt{\frac{m}{M}}\right)} \end{eqnarray*}$ , was dann mit $\begin{eqnarray*} \arctan(x)\approx x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|\ll 1 \end{eqnarray*}$ ebenfalls zu $\begin{eqnarray*} n \approx \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{M}{m}} \end{eqnarray*}$ führt.

27.02.2019, 13:49

10001000Nick1

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Zu diesem Thema habe ich vor einiger Zeit ein paar interessante Videos gesehen, in denen auch erklärt wird, was das ganze mit einem Lichtstrahl zu tun hat, der zwischen zwei Geraden reflektiert wird:

https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs
https://www.youtube.com/watch?v=jsYwFizhncE
https://www.youtube.com/watch?v=brU5yLm9DZM

27.02.2019, 14:05

Dopap

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was soll man da noch sagen, etwas wie Hänschen Rosendahl im eingefrorenen Fernseh-Sprung
"und das finden wir ... Spitze" Augenzwinkern

aber vielleicht gibt es ja auch hier wie beim Münzwerfen von Alice und Bob mindestens einen weiteren Weg der mehr Anschaulichkeit bietet. Zum Glück ist die Mathematik für jeden Gedanken offen.
Das Pi lenkt mich gedanklich zum Kreis und dann könnte mit Geometrie was möglich sein.
... Muss mal in Ruhe Schläfer

ein wenig rumprobieren. Und das ist schlussendlich der Reiz an der Sache.

27.02.2019, 14:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
in denen auch erklärt wird, was das ganze mit einem Lichtstrahl zu tun hat, der zwischen zwei Geraden reflektiert wird:

Wenn ich das richtig sehe, dann entspricht mein $\begin{eqnarray*} \frac{\varphi}{2} \end{eqnarray*}$ von oben eben jenem Öffnungswinkel zwischen den beiden Geraden. Eine Kontrollrechnung mit dem obigen $\begin{eqnarray*} \cos(\varphi)=1-2\mu \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{\sin(\varphi)}{1+\cos(\varphi)} = \sqrt{\frac{\mu}{1-\mu}} = \sqrt{\frac{m}{M}} \end{eqnarray*}$ .

01.03.2019, 01:49

Dopap

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ich hatte wegen Pi irgend etwas mit Geometrie und Kreis im Kopf.
Das 2. Video von URL zeigt eine erstaunliche Lösung. Mit der Transformation $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{m} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{M}V \end{eqnarray*}$ formt sich der Energiesatz zum Kreis und der Impulssatz zur Geraden mit Steigung $\begin{eqnarray*} \frac {\dd y}{\dd x}=-\frac {\sqrt M}{\sqrt m} \end{eqnarray*}$ oder auf Senkrechten im Phasendiagramm.
Gültige Zustände liegen auf den Schnittpunkten.
Die Punktfolge bilden eine Sägezahnkurve und Sektoren mit gleichen Umfangswinkeln/Bögen und doppelten Zentriwinkel.
Die Summe der Punkte sind dann immer abgeschnittene Zahlen mit Ziffern der Pi Folge, jedenfalls wenn M/m =100^k ist.

Insgesamt sehr gepflegt, anschaulich und überzeugend. Freude

01.03.2019, 09:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
und der Impulssatz zur Geraden mit Steigung $\begin{eqnarray*} \frac {\dd y}{\dd x}=-\frac {\sqrt M}{\sqrt m} \end{eqnarray*}$

Hier hast du wohl was vertauscht: Der Impulserhaltungssatz sagt $\begin{eqnarray*} 0 = m\dd v + M\dd V = \sqrt{m}\dd x + \sqrt{M}\dd y \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = -\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}} \end{eqnarray*}$ .

04.03.2019, 06:12

Dopap

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Das 2. von URL verlinkte Video zeigt eine Sägezahnkurve mit den Steigungen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \frac {\dd y}{\dd x}=-\frac {\sqrt M}{\sqrt m} \end{eqnarray*}$ , nur sollte dann im Video auch $\begin{eqnarray*} x=\sqrt M~ V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\sqrt m ~v \end{eqnarray*}$ an den Achsen stehen.

04.03.2019, 07:19

HAL 9000

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Nachträgliches Vertauschen der Achsen statt Zugeben des Fehlers - so geht's natürlich auch. Augenzwinkern

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