Natürliche kubische Splines interpolieren

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HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »
Natürliche kubische Splines interpolieren
Hi,

habe hier ein Problem mit einer Übungsaufgabe.

Bestimme die natürliche kubische Splinefunktion s(x), die nachfolgende Interpolationsaufgabe löst.
s(0)=-100
s(1)=-99
s(2)=-91
s(4)=-25
s(5)=32

Als erstes habe ich versucht die Kontrollpunkte zu ermitteln und dafür die folgenden Bedingungen aufgestellt. K1 bis K5 stellen die Punkte zu s(0), s(1), .... da.

2P1,1 + P1,2 = 2K2
P1,1 + 4P1,2 + P1,3 = 4K2 + 2K3
P1,2 + 4P1,3 + P1,4 = 4K3 + 2K4
2P1,3 + 7P1,4 = 8K4 + K5

P2,1 = 2K2 - P1,2
P2,2 = 2K3 - P1,3
P2,3 = 2K4 - P1,4
P2,4 = (K5 + P1,4)/2

Wie errechne ich jetzt die Kontrollpunkte, bzw. komme ich auf die Funktion s(x)?
Ich habe s(x) zwar in Geogebra abbilden können, verstehe aber nicht, wie ich dahin komme. Außerdem wollte ich in s(x) nicht runden, sondern lieber alles in Brüchen schreiben (was geogebra nicht macht).
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Natürliche kubische Splines interpolieren
Im Prinzip läuft das so, wie in unserem Workshop beschrieben. Du erhältst 16 Gleichungen für 16 Unbekannte. Probier's mal.

Viele Grüße
Steffen
 
 
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habe mal nach der Anleitung die du mir verlinkt hast weiter gemacht. Ich hoffe bis jetzt ist alles richtig...

Edit: Die eine Überschrift ist falsch, da dachte ich noch, dass die mittleren Punkte Kontrollpunkte sind.

Apropos Kontrollpunkte! Muss ich keine Kontrollpunkte errechnen? Brauche ich die nur, wenn ich s(x) selber zeichnen will, da der Computer das sonst übernimmt?
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch die Matrix... werde ich wohl nicht per Hand lösen... dafür bin ich zu faul. Big Laugh
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Kontrollpunkte gibt es bei B-Splines, hier geht es um einen natürlichen (Enden ohne Krümmung) kubischen (3. Ordnung) Spline mit fünf gegebenen Knotenpunkten.
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

aa=217/229 ba=0 ca=12/229 da=-100
ab=518/229 bb=-903/229 cb=915/229 db=-23201/229
ac=-93/229 bc=2763/229 cc=-6417/229 dc=-18313/229
ad=183/229 bd=-549/229 cd=6831/229 dd=-35977/229

B1(x)=(217/229)x^3+(12/229)x-100
B2(x)=(518/229)x^3-(903/229)x^2+(915/229)x-23201/229
B3(x)=(-93/229)x^3+(2763/229)x^2-(6417/229)x-18313/229
B4(x)=(183/229)x^3-(549/229)x^2+(6831/229)x-35977/229

Das kam raus. Da die Funktionen B1(x), B2(x),... nur für einen gewissen Abstand von Punkt zu Punkt gelten sollen... wie wäre die korrekte Schreibweise? Und da s(x) aus den 4 Funktionen gebildet wird, wie wäre hier die Schreibweise für die Summe der Segmente?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es so schreiben:



Die einzelnen können ruhig für alle gelten, es reicht, die Einschränkung für zu machen.

Viele Grüße
Steffen
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

Danke das hat geholfen...
Maren.Knappig Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlende Gleichung
Eine Frage zu dieser Übung. Wenn man fünf Knotenpunkte gegeben hat. Dann kriegt man daraus doch nur 13 Gleichungen für 16 Unbekannte, oder? Woher erhält man die drei fehlenden Gleichungen?

f_1 (x) durch P_0 und P_1 --> 2 GLeichungen
f_1^' (x)=f_2^' (x) an Punkt P_1 --> 1 Gleichung
f_1^'' (x) = 0 an P_0 --> 1 Gleichung

f_2 (x) durch P_1 und P_2 --> 2 GLeichungen
f_2^' (x)=f_3^' (x) an Punkt P_2 --> 1 Gleichung


f_3 (x) durch P_2 und P_3 --> 2 GLeichungen
f_3^' (x)=f_4^' (x) an Punkt P_3 --> 1 Gleichung


f_4 (x) durch P_3 und P_4 --> 2 GLeichungen
f_4^'' (x) = 0 an P_1 --> 1 Gleichung

Das ergibt insgesamt doch 13 Gl statt der benötigten 16... oder????
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlende Gleichung
Wie im Workshop beschrieben, müssen nicht nur die Steigungen, sondern auch die Krümmungen der beiden jeweils benachbarten Funktionen in P1, P2 und P3 identisch sein. Das sind die drei fehlenden Gleichungen.

Viele Grüße
Steffen
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