Interpolierende Polynome (6. und 2. Grades) bestimmen

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HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolierende Polynome (6. und 2. Grades) bestimmen
Hi,

hier ist noch eine Aufgabe, bei der ich im Moment nicht weiter komme.

Gegeben ist die Funktion f(x)=2x+(1/2)x^2+(1/2)x^5-2

a) Bestimme Polynom 6. Grades, das f(x) an den Stellen xi=i für i=0,1,2,3,4,5,6 interpoliert.

b) Bestimme Polynom 2. Grades, das f(x) an der Stellen xi=i-1 für i=0,1,2 interpoliert.



zu a) Die Funktion muss die Form a(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g haben.

Bedingungen:
I) a(0)=f(0)
g=-2

II) a(1)=f(1)
a+b+c+d+e+f+g=1

III).... insgesamt 7 Bedingungen


zu b) b(x)=ax^2+bx+c

Bedingungen:
I) b(-1)=f(-1)
-2a-b+c=-4

II) b(0)=f(0)
c=-2

III) b(1)=f(1)
2a+b+c=1


Weiter komme ich hier nicht!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Da musst du wohl oder übel 2 lineare Gleichungssysteme lösen.

a.) eines mit 7 Variablen, möglichst als Matrizizengleichung, gut mit 6 Variablen da g=-2 offensichtlich ist.
b.) eines mit 3 Variablen
 
 
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zu a) f ist doch selbst schon ein Polynom verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Frage ist doch ob der höchste Koeffizient Null sein darf. ?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann doch nur f herauskommen verwirrt
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das soweit richtig?
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendetwas stimmt hier nicht... Ich kann nicht bei der zweiten aufgestellten Gleichung c=-2 herausbekommen und in der Matrix c=-1,5!!!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Da kann doch nur f herauskommen verwirrt


für n>1 Punkte auf einer Geraden ist das einfachste Polynom die Geradengleichung.
Es gibt aber jede Menge höherer Polynome die die Punkte auch enthalten, oder bin ich gerade das was der Fragesteller als Namen hat ?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap: Solche Polynome gibt es. Es gibt aber keine Parabel, die die Gerade in drei Punkten schneidet - und das wäre die Aufgabenstellung. Es sei denn, die Parabel fällt mit der Geraden zusammen.

Schau dir die Differenz von f und dem Interpolationspolynom an und die Anzahl der Nullstellen.
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre super, wenn mir jemand sagen könnte wie es hier weiter geht oder mir das mal zeigt... Ich weiß im Moment nicht, wie ich weiter machen soll... verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die 7x8 Matrix nachgerechnet und wie URL voraussagte ist die exakte Lösung:

a=0
b=1/2
c=0
d=0
e=1/2
f=2
g=-2

also das Ausgangspolynom.

Du wirst doch nicht ernsthaft annehmen, dass jemand deinen Fehler im Gleichungswust sucht wenn das Ergebnis bereits feststeht.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist aber nicht nötig, im Fall a) das GLS zu lösen. Man kann einfach begründen, dass f sein eigenes Interpolationspolynom ist.
Für b) hat man letztlich zwei lineare Gleichungen und zwei Unbekannte, das ist einfach.
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jemand kurz bestätigen, ob die Lösung so richtig ist?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar ist doch . Das kann also nicht stimmen.
Die Bedingung lautet .
(Nebenbei ist es ein ziemlich dumme Idee, Interpolationspolynom und einen seiner Koeffizienten gleich zu benennen)
Die Koeffizienten sind
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

"Offenbar ist doch b(0)=1≠−2=f(0). Das kann also nicht stimmen."

Ich habe doch erst mit b(0)=f(0), b(1)=f(1) und b(2)=f(2) gerechnet. Damit ist das Gleichungssystem aber nicht lösbar.
Also war mein zweiter Ansatz b(-1)=f(0), b(0)=f(1) und b(1)=f(2).

War jetzt der erste Ansatz richtig? Wenn das Gleichungssystem nicht lösbar ist bedeutet das doch dass es kein interpoliertes Polynom 2. Grades zu f(x) gibt!
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Das liegt einfach daran, dass dein GLS falsch ist.
Zitat:
I) b(-1)=f(-1)
-2a-b+c=-4

III) b(1)=f(1)
2a+b+c=1

Richtig wäre

HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich wieder eine andere Lösung... nicht die Gleiche wie Du... Wo ist denn der Fehler?

verwirrt
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Der Fehler ist bei mir. So stimmt es
HeinBlöd Auf diesen Beitrag antworten »

Super... Danke!!!
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