Interpolierende Polynome (6. und 2. Grades) bestimmen |
| 24.02.2019, 17:27 | HeinBlöd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Interpolierende Polynome (6. und 2. Grades) bestimmen hier ist noch eine Aufgabe, bei der ich im Moment nicht weiter komme. Gegeben ist die Funktion f(x)=2x+(1/2)x^2+(1/2)x^5-2 a) Bestimme Polynom 6. Grades, das f(x) an den Stellen xi=i für i=0,1,2,3,4,5,6 interpoliert. b) Bestimme Polynom 2. Grades, das f(x) an der Stellen xi=i-1 für i=0,1,2 interpoliert. zu a) Die Funktion muss die Form a(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g haben. Bedingungen: I) a(0)=f(0) g=-2 II) a(1)=f(1) a+b+c+d+e+f+g=1 III).... insgesamt 7 Bedingungen zu b) b(x)=ax^2+bx+c Bedingungen: I) b(-1)=f(-1) -2a-b+c=-4 II) b(0)=f(0) c=-2 III) b(1)=f(1) 2a+b+c=1 Weiter komme ich hier nicht! |
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| 24.02.2019, 20:04 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da musst du wohl oder übel 2 lineare Gleichungssysteme lösen. a.) eines mit 7 Variablen, möglichst als Matrizizengleichung, gut mit 6 Variablen da g=-2 offensichtlich ist. b.) eines mit 3 Variablen |
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| 24.02.2019, 20:10 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu a) f ist doch selbst schon ein Polynom 
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| 24.02.2019, 21:09 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die Frage ist doch ob der höchste Koeffizient Null sein darf. ? |
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| 24.02.2019, 21:46 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da kann doch nur f herauskommen
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| 24.02.2019, 21:54 | HeinBlöd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das soweit richtig? |
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| 24.02.2019, 21:59 | HeinBlöd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendetwas stimmt hier nicht... Ich kann nicht bei der zweiten aufgestellten Gleichung c=-2 herausbekommen und in der Matrix c=-1,5!!! |
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| 25.02.2019, 00:02 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
für n>1 Punkte auf einer Geraden ist das einfachste Polynom die Geradengleichung. Es gibt aber jede Menge höherer Polynome die die Punkte auch enthalten, oder bin ich gerade das was der Fragesteller als Namen hat ? |
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| 25.02.2019, 08:11 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Dopap: Solche Polynome gibt es. Es gibt aber keine Parabel, die die Gerade in drei Punkten schneidet - und das wäre die Aufgabenstellung. Es sei denn, die Parabel fällt mit der Geraden zusammen. Schau dir die Differenz von f und dem Interpolationspolynom an und die Anzahl der Nullstellen. |
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| 25.02.2019, 20:55 | HeinBlöd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es wäre super, wenn mir jemand sagen könnte wie es hier weiter geht oder mir das mal zeigt... Ich weiß im Moment nicht, wie ich weiter machen soll...
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| 25.02.2019, 22:08 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe die 7x8 Matrix nachgerechnet und wie URL voraussagte ist die exakte Lösung: a=0 b=1/2 c=0 d=0 e=1/2 f=2 g=-2 also das Ausgangspolynom. Du wirst doch nicht ernsthaft annehmen, dass jemand deinen Fehler im Gleichungswust sucht wenn das Ergebnis bereits feststeht. |
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| 26.02.2019, 00:13 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist aber nicht nötig, im Fall a) das GLS zu lösen. Man kann einfach begründen, dass f sein eigenes Interpolationspolynom ist. Für b) hat man letztlich zwei lineare Gleichungen und zwei Unbekannte, das ist einfach. |
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| 27.02.2019, 10:25 | HeinBlöd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann jemand kurz bestätigen, ob die Lösung so richtig ist? |
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| 27.02.2019, 14:14 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Offenbar ist doch . Das kann also nicht stimmen. Die Bedingung lautet . (Nebenbei ist es ein ziemlich dumme Idee, Interpolationspolynom und einen seiner Koeffizienten gleich zu benennen) Die Koeffizienten sind |
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| 27.02.2019, 19:41 | HeinBlöd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Offenbar ist doch b(0)=1≠−2=f(0). Das kann also nicht stimmen." Ich habe doch erst mit b(0)=f(0), b(1)=f(1) und b(2)=f(2) gerechnet. Damit ist das Gleichungssystem aber nicht lösbar. Also war mein zweiter Ansatz b(-1)=f(0), b(0)=f(1) und b(1)=f(2). War jetzt der erste Ansatz richtig? Wenn das Gleichungssystem nicht lösbar ist bedeutet das doch dass es kein interpoliertes Polynom 2. Grades zu f(x) gibt! |
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| 27.02.2019, 20:12 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das liegt einfach daran, dass dein GLS falsch ist.
Richtig wäre |
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| 28.02.2019, 10:23 | HeinBlöd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt habe ich wieder eine andere Lösung... nicht die Gleiche wie Du... Wo ist denn der Fehler?
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| 28.02.2019, 10:32 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Fehler ist bei mir. So stimmt es |
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| 28.02.2019, 11:15 | HeinBlöd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super... Danke!!! |
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