Ableitung eines endlichen Produktes

25.02.2019, 23:54

luitzi12

Ableitung eines endlichen Produktes

Habt ihr eine Idee, wie ich am "schönsten" zeige, dass die Ableitung (bezüglich aller Variablen!!) von $\begin{eqnarray*} -\lambda ^{k-1} t_1 (t_2 -t_1)(t_3-t_2)...(t_{k-1}-t_{k-2})e^{-\lambda t_k}+R(t_1,...,t_k) \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \lambda ^k e^{-\lambda t_k} \end{eqnarray*}$ ist?

Ich hätte einfach gesagt, dass das Produkt $\begin{eqnarray*} t_1 (t_2 -t_1)(t_3-t_2)...(t_{k-1}-t_{k-2}) \end{eqnarray*}$ gerade irgendeine Summe ist und dann die Ableitung (aller Variablen) gerade 1 ist und die Ableitung bezüglich lambda_k eben das Ergebnis. Finde ich aber "relativ unschön".

Danke schonmal!

26.02.2019, 07:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von luitzi12
Ich hätte einfach gesagt, dass das Produkt $\begin{eqnarray*} t_1 (t_2 -t_1)(t_3-t_2)...(t_{k-1}-t_{k-2}) \end{eqnarray*}$ gerade irgendeine Summe ist und dann die Ableitung (aller Variablen) gerade 1 ist

Differenziere in genau der Reihenfolge zuerst nach $\begin{eqnarray*} t_{k-1} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} t_{k-2} \end{eqnarray*}$ usw. und zuletzt $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ , dann kommt 1 heraus.

Die Differentiation nach $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ ist davon losgelöst zu sehen.

P.S.: Der Restterm $\begin{eqnarray*} R(t_1,\ldots,t_k) \end{eqnarray*}$ hat hier wohl erstmal nichts zu suchen - mit dem obigen Satz behauptest du (indirekt), dass dessen Ableitung gleich Null ist. Das dürfte wohl kaum zutreffen.

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