Kompakt Beweise

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xallum Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakt Beweise
Sei (X, d) ein metrischer Raum und A, K Teilmenge von X . Beweise die folgenden
zwei Aussagen:
a) Ist K kompakt und A abgeschlossen, so ist A vereinigt mit K kompakt. (falls zudem A Teilmenge von K ist, so ist A kompakt)
b) K ist kompakt in (X, T ) genau dann wenn K kompakt ist in (K, Tk)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakt Beweise
Willkommen im Matheboard!

Zitat:
Original von xallum
a) … so ist A vereinigt mit K kompakt.

Sicher, dass da "vereinigt" steht (und nicht "geschnitten")? In diesem Fall wäre die Aussage nämlich falsch.

Wie so oft kommt es drauf an, mit welcher Art von Kompaktheit du arbeiten willst: Folgenkompaktheit oder Überdeckungskompaktheit?
Bei ersterem sind beide Beweise eigentlich Einzeiler.

Wenn du Überdeckungskompaktheit verwenden willst, würde ich bei a) zeigen, dass abgeschlossene Teilmengen kompakter Mengen kompakt sind und dass kompakte Mengen in metrischen Räumen abgeschlossen sind.

Bei b) ist es sicherlich hilfreich, wenn du dir nochmal anschaust, wie die induzierte Topologie definiert ist.
 
 
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