Basis endlicher Körper

27.02.2019, 14:09	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis endlicher Körper Hallo zusammen Ich habe f(x) = x^3 - x + 1 sowie $\begin{eqnarray} K = \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ [x]/(f(x)) gegeben. Nun suche ich eine Basis von K als Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ . Wie finde ich eine solche Basis? Danke für die Hilfe!
27.02.2019, 14:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis endlicher Körper Division mit Rest liefert für jedes Element von $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_3[x]/(f(x)) \end{eqnarray}$ einen eindeutigen Repräsentanten. Jetzt kann man überlegen, welchen Grad dieser Repräsentant höchstens haben kann und nimmt dann z.B. die notwendigen Monome als Basis.
27.02.2019, 16:53	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis endlicher Körper Hallo URL Danke für deinen Hinweis. Ich bin nicht sicher, ob ich alles korrekt verstanden habe. Also: Der Repräsentant kann maximal Grad 2 haben. Kann man als Basis also z.B. wählen: {(0, 1), (0, 2)} ?
27.02.2019, 16:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis endlicher Körper Was soll denn (0, 1), (0, 2) in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_3[x]/(f(x)) \end{eqnarray}$ sein?
27.02.2019, 17:18	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis endlicher Körper * Ich meinte natürlich: { (0, 1, 0)^T, (0, 0, 1)^T, (0, 1, 1)^T }
27.02.2019, 17:36	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis endlicher Körper Auch das verstehe ich nicht. Interpretiert man das als Vektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , dann sind die zudem linear abhängig. Ich dachte an die Äquivalenzklassen der Monome $\begin{eqnarray} 1,x,x^2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_3[x]/(f(x)) \end{eqnarray}$
Anzeige

27.02.2019, 20:29	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis endlicher Körper Also würdest du was konkret als Basis nehmen?
27.02.2019, 20:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis endlicher Körper Das sagte ich doch: Äquivalenzklassen der Monome $\begin{eqnarray} 1,x,x^2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}3[x]/(f(x)) \end{eqnarray}$
27.02.2019, 20:41	Thomas7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis endlicher Körper Aber wie würdest du das formal aufschreiben?
27.02.2019, 20:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis endlicher Körper Genau so.
28.02.2019, 11:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man $\begin{eqnarray} \alpha:=\overline x \end{eqnarray}$ setzt, hat man mit $\begin{eqnarray} \{1,\alpha,\alpha^2\} \end{eqnarray}$ nicht nur eine Vektorraumbasis von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ sondern beherrscht sogar den Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} \alpha^3=\alpha-1 \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »