Markovketten - Trefferzeit

28.02.2019, 10:33

konrad1

Markovketten - Trefferzeit

Hallo,

ich habe die folgende Übergangsmatrix gegeben (Zustandsraum 1-5):

$\begin{eqnarray*} A= \left(\begin{matrix}0&\frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0&0\\0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}&0\\0&0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}&0&0&\frac{2}{3}&0\end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$

mit einer Anfangsverteilung (1/3, 1/4, 1/5, 1/6,1/20). Nun soll ich die erwarteten Trefferzeiten der Menge A={3,4} bestimmen. Wie geht das? Die erste Trefferzeit ist ja der erste Zeitpunkt zu dem der Zustand 3 oder 4 jeweils erreicht wird - das ist t=1 weil man ja von einem der anderen Zustände in einem Schritt auf 3 oder 4 kommen kann. Aber was sind die erwarteren Trefferzeiten? So lange Matrizen multiplizieren bis die Verteilung in 3 oder 4 einen Wert über 0,5 annimmt?

LG

Konrad

28.02.2019, 12:01

HAL 9000

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Ok, mit "Trefferzeit" meinst du $\begin{eqnarray*} T_A := \min\left\{ i:\; X_i\in A\right\} \end{eqnarray*}$ , d.h., mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}+\frac{1}{6} = \frac{11}{12} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} T_A=0 \end{eqnarray*}$ , denn mit dieser Wahrscheinlichkeit startet man ja bereits in der Zielmenge $\begin{eqnarray*} A=\{3,4\} \end{eqnarray*}$ , ist damit sofort da.

Habt ihr denn gar nichts dazu gehabt, wie man diese mittlere Trefferzeit berechnen kann? Finde ich reichlich unglaubwürdig, schau doch bitte mal genau nach. Auf jeden Fall ist

$\begin{eqnarray*} E\left[T_A\right] = \sum_{i=1}^5 P(X_0=i)\cdot E\left[T_A \mid X_0=i\right] \end{eqnarray*}$ ,

d.h. kann man diese $\begin{eqnarray*} t_i:= E\left[T_A \mid X_0=i\right] \end{eqnarray*}$ berechnen, hat man auch $\begin{eqnarray*} E\left[T_A\right] \end{eqnarray*}$ . Auf jeden Fall ist $\begin{eqnarray*} t_i=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in A \end{eqnarray*}$ , da haben wir schon mal zwei der fünf Werte. Für die anderen $\begin{eqnarray*} i\notin A \end{eqnarray*}$ gilt wohl

$\begin{eqnarray*} t_i = 1 + \sum_{k=1}^5 p_{ik}t_k \end{eqnarray*}$ ,

aus diesem Gleichungssystem kannst du alle $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ und damit dann auch $\begin{eqnarray*} E\left[T_A\right] \end{eqnarray*}$ berechnen.

28.02.2019, 14:23

konrad1

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Hallo,

Vielen Dank, vom Zustand 1 braucht man 2 Schritte, von den Zuständen 2 und 5 jeweils einen Schritt. Heißt das die Lösung ist 1/3*2 + 1/4*1 + 1/5*0 + 1/6*0 +1/20*1 = 58/60?

Lg

Konrad

28.02.2019, 15:00

HAL 9000

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Ich weiß nicht, wovon du redest, jedenfalls nicht

Zitat:

Original von HAL 9000
Auf jeden Fall ist $\begin{eqnarray*} t_i=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in A \end{eqnarray*}$ , da haben wir schon mal zwei der fünf Werte. Für die anderen $\begin{eqnarray*} i\notin A \end{eqnarray*}$ gilt wohl

$\begin{eqnarray*} t_i = 1 + \sum_{k=1}^5 p_{ik}t_k \end{eqnarray*}$

davon: Es ergibt sich $\begin{eqnarray*} t_3=t_4=0 \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} t_1 &=& 1 + \frac{t_2}{2} + \frac{t_5}{2}\\ t_2 &=& 1 + \frac{t_1}{2} + \frac{t_3}{2} = 1 + \frac{t_1}{2}\\ t_5 &=& 1 + \frac{t_1}{3} + \frac{2t_4}{3} = 1 + \frac{t_1}{3} \end{eqnarray*}$

mit der Lösung $\begin{eqnarray*} t_1=\frac{24}{7},t_2=\frac{19}{7},t_5=\frac{15}{7} \end{eqnarray*}$ .

28.02.2019, 19:39

konrad1

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Hallo,

Danke jetzt habe ich es erst verstanden, sorry.

Die Unterlagen sind vom aktuellen Semester, und ich rechne 10 Jahre alte Prüfungsangaben durch.

Lg

Konrad

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