Markovkette - Wahrscheinlichkeit

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konrad1 Auf diesen Beitrag antworten »
Markovkette - Wahrscheinlichkeit
Hallo,

ich habe den Zustandsraum {1,2,3} mit Anfangsverteilung 1/6, 1/3, 1/2 und die folgende Übergangsmatrix:



Damit soll ich die folgenden Wahrscheinlichkeiten ausdrücken:

1.)
Was ist damit gemeint? Der Ausgangzustand als P[X_0]=2 ist 1/3. Und was weiter? Matrix multiplizieren und schauen was für die anderen Werte rauskommt? Das Skript ist voller Beweise die dann bei der mündl. Prüfung abgefragt werden, aber konkret vorgerechnet, so dass man weiß was sich der Prof. schriftlich als Antwort erwartet ist nichts. Meint er in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für X_1=1 im Fall dass X_0=2 oder unabhängig davon?
2.) Im zweiten Beispiel suchen wir . Was ist hier gemeint? Die Wahrscheinlichkeit dass man von X_0 =3 über X_1=1 zu X_2=2 gelangt?

LG

Konrad
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt zunächst allgemein (d.h. ohne Nutzung der Markov-Eigenschaft)

,

die Markoveigenschaft (die Zustandsverteilung hängt nur vom unmittelbar letzten Zustand ab, nicht aber von der weiteren Vergangenheit) vereinfacht noch den letzten Faktor:

.

Den ersten Faktor kannst du der Anfangsverteilung entnehmen, die letzten beiden der Ü-Matrix:

.


Zu 2) Mit der Symbolik der bedingten Wahrscheinlichkeit bist du doch vertraut?

bedeutet die bedingte Wahrscheinlichkeit, zum Zeitpunkt 2 im Zustand 2 zu sein, wenn man zu den Zeitpunkten 0 bzw. 1 in den Zuständen 3 bzw. 1 war. Und wieder greift die Markov-Eigenschaft, d.h.

(erste Zeile, zweite Spalte der Ü-Matrix).
konrad1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Vielen Dank - also ging es dem Professor darum dass man im Fall 2 nicht noch die Wahrscheinlichkeit für X_0=3 mit rein multipliziert?

Lg

Konrad
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich äußere mich zu den Dingen, die Hand und Fuß haben, aber nicht zu Spekulationen, was die Intentionen deines Professors für diese oder jene Frage sein könnten - diesen Part überlasse ich dir. Augenzwinkern
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