Nullstelle kein Erzeuger eines endlichen Körpers

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Leonardo22 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle kein Erzeuger eines endlichen Körpers
Hallo zusammen

Ich hätte eine kurze, wahrscheinlich einfach zu klärende Frage: Wenn ich eine Nullstelle eines irreduziblen Polynoms von Grad 6 in habe, so ist diese im Allgemeinen kein Erzeuger von . Aber warum?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es einen Grund, anzunehmen, dass eine Nullstelle ein Erzeuger ist ? Für das irreduzible Polynom über ist , also kein Erzeiger von . warum sollte das für Polynome höheren Grades anders sein ?
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@Elvis: Das Argument verstehe ich jetzt nicht. Die Elemente von sind doch gerade
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, da habe ich mich vertan.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein theoretischer Grund fällt mir gerade nicht ein. Untersuche ! Klar ist, dass die multiplikative Gruppe jedes endlichen Körpers zyklisch ist. Hat sie Primzahlordnung, dann ist jedes Element außer der Eins ein Erzeuger. Andererseits ist die zyklische Gruppe der Ordnung 63=7*9 das direkte Produkt von 2 zyklischen Gruppen, so dass die Ordnung einer Nullstelle eines irreduziblen Polynoms eventuell die Gruppenordnung echt teilt. (Ist das immer so, dass eine entsprechende Nullstelle die Gruppe nicht erzeugt ???)
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Bei Erweiterungen von wird man bei Körpern mit vier oder acht Elementen nicht fündig. Wie Elvis schon sagte, haben die Einheitengruppen Primzahlordnung und deswegen ist die adjungierte Nullstelle immer auch ein Erzeuger der Einheitengruppe.
Beim Körper mit sechzehn Elementen wird man allerdings fündig (jedenfalls wenn ich mich nicht verrechnet habe)
Das Polynom ist irreduzibel über und mit ist und damit .
Das gilt generell: Ist irreduzibel über , dann ist und .

Nimmt man andererseits , dann ist ein Erzeuger der Einheitengruppe. Da ist mir nichts besseres eingefallen, als die Potenzen zu berechnen.

Kann mich bitte jemand in die richtige theoretische Richtung schicken?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Seit bald 50 Jahren mache ich fast nichts als Algebra und muss immer wieder vor harmlosen Fragen kapitulieren. "Habe nun, ach, ... Da steh ich nun, ich armer Tor und bin so klug als wie zuvor." verwirrt
Aber manchmal glaube ich, dass ich das allgemeine Reziprozitaetsgesetz fast schon verstanden habe ... smile
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Sucht man nebenan findet man ein bisschen was dazu:
Ob man einen Erzeuger der Einheitengruppe erwischt, hängt vom Polynom ab, das wissen wir schon, es geht auch mit dem Körper mit 9 Elementen.
Ein bisschen Terminologie, insbesondere die WARNING2, und ganz am Ende des Beitrages einen Verweis auf eine Liste von primitive polynomials.
Und generell der Fall eines nicht primitiven Polynoms
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