Integral vereinfachen

01.03.2019, 11:21	Gabriel98	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral vereinfachen Ich soll folgende Identität zeigen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} \! \int_{0}^{2} \! \frac{u(\epsilon)}{\epsilon} \frac{x}{2} H(x\epsilon;2y_{i},2y_{i+1})\, dx \, d\epsilon = \int_{y_{i}}^{y_{i+1}} \! \frac{u(\epsilon)}{\epsilon} \, d\epsilon - y_{i}^{2}\int_{y_{i}}^{\infty} \! \frac{u(\epsilon)}{\epsilon^{3}} \, d\epsilon + y_{i+1}^{2}\int_{y_{i+1}}^{\infty} \! \frac{u(\epsilon)}{\epsilon^{3}} \, d\epsilon \end{eqnarray}$ Dabei ist H(x;a,b) die Heavisidefunktion mit H(x;a,b) = 1 für a<x<b und H(x;a,b)=0 sonst. Ich probier jetzt schon eine ewigkeit herum und komme einfach nicht drauf.....Mein bisher bester Ansatz ist der folgende: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} \! \int_{0}^{2} \! \frac{u(\epsilon)}{\epsilon} \frac{x}{2} H(x\epsilon;2y_{i},2y_{i+1})\, dx \, d\epsilon = \int_{0}^{\infty} \! \int_{\frac{2y_{i}}{\epsilon}}^{\frac{2y_{i+1}}{\epsilon}} \! \frac{u(\epsilon)}{\epsilon} \frac{x}{2} \, dx \, d\epsilon = \int_{0}^{\infty} \! \frac{u(\epsilon)}{\epsilon}\bigg (\frac{y_{i+1}^{2}}{\epsilon^{2}} - \frac{y_{i}^{2}}{\epsilon^{2}} \bigg )\, dx = - y_{i}^{2}\int_{0}^{\infty} \! \frac{u(\epsilon)}{\epsilon^{3}} \, d\epsilon + y_{i+1}^{2}\int_{0}^{\infty} \! \frac{u(\epsilon)}{\epsilon^{3}} \, d\epsilon \end{eqnarray}$ Dies ist jedoch offensichtlich falsch... Vielen Dank im vorraus
01.03.2019, 12:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geduldig rechnen... Tatsächlich ergibt die Elimination des Heaviside-Ausdrucks im ersten Schritt die Gleichung $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^2 \frac{u(\epsilon)}{\epsilon} \frac{x}{2} H(x\epsilon;2y_{i},2y_{i+1}) ~ \dd x ~ \dd\epsilon = \int\limits_0^{\infty} \frac{u(\epsilon)}{2\epsilon} ~ \int\limits_{[0,2]\cap \left[\frac{2y_{i}}{\epsilon},\frac{2y_{i+1}}{\epsilon}\right]} ~ x ~ \dd x ~ \dd\epsilon \end{eqnarray}$ Jetzt gilt es diesen Intervalldurchschnitt zu erforschen für die verschiedenen $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Werte, und das ergibt a) Für $\begin{eqnarray} \epsilon < y_i \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} [0,2]\cap \left[\frac{2y_{i}}{\epsilon},\frac{2y_{i+1}}{\epsilon}\right] = \emptyset \end{eqnarray}$ , da dort $\begin{eqnarray} 2 < \frac{2y_{i}}{\epsilon} \end{eqnarray}$ gilt. b) Für $\begin{eqnarray} y_i\leq \epsilon \leq y_{i+1} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} [0,2]\cap \left[\frac{2y_{i}}{\epsilon},\frac{2y_{i+1}}{\epsilon}\right] = \left[\frac{2y_{i}}{\epsilon},2\right] \end{eqnarray}$ . c) Für $\begin{eqnarray} \epsilon > y_{i+1} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} [0,2]\cap \left[\frac{2y_{i}}{\epsilon},\frac{2y_{i+1}}{\epsilon}\right] = \left[\frac{2y_{i}}{\epsilon},\frac{2y_{i+1}}{\epsilon}\right] \end{eqnarray}$ . Zusammen mit $\begin{eqnarray} \int\limits_r^s x ~ \dd x = \frac{s^2-r^2}{2} \end{eqnarray}$ lassen sich damit die drei Teilintegrale auf den durch a)b)c) bestimmten $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Teilintervallen bestimmen.
01.03.2019, 23:40	Gabriel98	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach verdammt.... Natürlich muss man dass noch schneiden mit [0,2].... Vielen Dank für die Hilfe!

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