Offenheit/Abgeschlossenheit von Intervallen

01.03.2019, 13:42

Vladima123

Offenheit/Abgeschlossenheit von Intervallen

Hallo,

es ist gegeben $\begin{eqnarray*} (X, d), X = \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d = |x-y| \end{eqnarray*}$
ich möchte zeigen, dass folgende Mengen abgeschlossen/offen sind
i) A = [0,1]
ii) B = [0,1)
iii) C = (0,1]

ich wollte nur fragen, ob mein Lösungsansatz so überhaupt stimmt, weil ich noch nicht so richtig mit der Thematik zurecht komme.

zu i): eine TM M von X ist abgeschlossen, gdw. ihr Komplement offen in X ist

[0,1] ist abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , denn:
$\begin{eqnarray*} A' = \mathbb R / A = (- \infty, 0) \cup (1, \infty) \end{eqnarray*}$ ist offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , da se Umgebung jedes ihrer Punkte ist. Könnte ich hier die "kritischen" Punkte 0 und 1 betrachten und eine offene Kugel darum legen und so zeigen, dass sie offen ist? Ich verstehe das nicht richtig. Wie muss ich jetzt vorgehen?

zu ii): die Menge B ist nicht abgeschlossen in X, denn
$\begin{eqnarray*} B' = \mathbb R / [0,1) = (- \infty, 0) \cup [1, \infty) \end{eqnarray*}$ und B' ist nicht offen, denn $\begin{eqnarray*} B_e (1) \cap X = (1-e, 1+e) \not\subset [0,1) \end{eqnarray*}$ für e bel. und damit ist 1 kein innerer Punkt und damit ist diese Menge nicht offen -> [0,1) ist nicht abgeschlossen

die Menge B ist nicht offen in X, denn
$\begin{eqnarray*} B_e (1) \cap X = (-e, e) \not\subset [0,1) \end{eqnarray*}$ für e bel., damit ist 0 kein innerer Punkt und damit ist die Menge nicht offen
-> [0,1) ist weder abgeschlossen noch offen

zu iii) analog zu (ii)

kann man das so machen?

Liebe Grüße,
Laura

01.03.2019, 18:01

zweiundvierzig

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RE: Offenheit/Abgeschlossenheit von Intervallen

Zitat:

Original von Vladima123
[0,1] ist abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , denn:
$\begin{eqnarray*} A' = \mathbb R / A = (- \infty, 0) \cup (1, \infty) \end{eqnarray*}$ ist offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , da se Umgebung jedes ihrer Punkte ist.

Das ist richtig. Auf der reellen Zahlengeraden betrachte einen Punkt links von 0 und einen Punkt rechts von 1. Konstruiere zu beiden je eine Umgebung, die den jeweiligen Punkt enthalten.

Zitat:

Original von Vladima123
B' ist nicht offen, denn $\begin{eqnarray*} B_e (1) \cap X = (1-e, 1+e) \not\subset [0,1) \end{eqnarray*}$ für e bel.

Eher $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon (1) \cap X = (1-\varepsilon, 1+\varepsilon) \not\subset B' \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} (1-\varepsilon, 1+\varepsilon) \cap [0,1) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Vladima123
die Menge B ist nicht offen in X, denn
$\begin{eqnarray*} B_e (1) \cap X = (-e, e) \not\subset [0,1) \end{eqnarray*}$ für e bel., damit ist 0 kein innerer Punkt und damit ist die Menge nicht offen

Bis auf den Tippfehler am Anfang stimmt das.

Zitat:

Original von Vladima123
zu iii) analog zu (ii)

Richtig.

Zusätzlich kann man sich auch noch fragen, ob die abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch offen sein kann (a priori kein Widerspruch).

Edit: Backslashes in LaTeX produziert man mit \backslash.

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