Hypothesentest - Approximation mit Normalverteilung

04.03.2019, 15:02

Alexxandro

Hypothesentest - Approximation mit Normalverteilung

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Frau Schulze betreibt einen Schnellimbiss für Vegetarier. Sie wird jedoch eines Tages wegen Betrugs und Etikettenschwindels verklagt. Die Kundin kann per Fotos nachweisen, dass 8 von 25 von ihr bestellten Gemüsesuppen gar nicht vegetarisch waren, da sich eine Fliege darin befand. Das Gericht verlangt auf Basis dieser als einfach akzeptierten Stichprobe einen Hypothesentest, mit dem der Anteil $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ aller Gemüsesuppen mit Fliegen als über den gesetzlich zugelassenen 10 % nachgewiesen wird.

a) Ist die Approximation durch die Normalverteilung in diesem Fall gerechtfertigt?
b) Formulieren Sie H0 sowie H1.
c) Führen Sie den Hypothesentest zu einem Signifikanzniveau von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ =2,28% durch.

Für die b) denke ich, ist
H0: in weniger als 10% der Fälle sind Fliegen in der Suppe,
H1: in mehr als 10% der Fälle

Woher weiß ich aber bei der a), ob man die Normalverteilung verwenden darf?

Falls ja, denke ich, ist $\begin{eqnarray*} \mu_{0} \end{eqnarray*}$ =0,1 und das Stichprobenmittel= $\begin{eqnarray*} \frac{8}{25} \end{eqnarray*}$ =0,32 und n=25 oder?

Danke für die Hilfe!

05.03.2019, 09:23

Huggy

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RE: Hypothesentest - Approximation mit Normalverteilung

Zitat:

Original von Alexxandro
Woher weiß ich aber bei der a), ob man die Normalverteilung verwenden darf?

Man betrachtet die Näherung durch die Normalverteilung meist als akzeptabel wenn gilt

$\begin{eqnarray*} n p (1-p) \geq 9 \end{eqnarray*}$

Manchmal verwendet man auch 10 als Grenze. Diese Bedingung ist bei der Aufgabe nicht erfüllt.

05.03.2019, 12:38

Dopap

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die binomiale Wahrscheinlichkeit ist 0.23% für 8 oder mehr Fliegen in 25 Suppen ist unter der Bedingung p=0.1
Auch ohne Formulierung von Hypothesen eine klare Ansage.

05.03.2019, 16:29

Alexxandro

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RE: Hypothesentest - Approximation mit Normalverteilung
Edit (mY+): Vollzitat entfernt!

Oke und was wäre mit der Annahme
wenn $\begin{eqnarray*} 5~\leq~\sum{x_i}~\leq~n-5 \end{eqnarray*}$ ist, dass man dann die Annäherung durch den approx. Gaußtest machen kann? Also quasi über die Standardnormalverteilung?

Weil dann wäre ja $\begin{eqnarray*} 5~\leq~8~\leq~25-5 \end{eqnarray*}$ richtig?

05.03.2019, 17:57

Huggy

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RE: Hypothesentest - Approximation mit Normalverteilung
Mir ist nicht klar, wie du auf den Bereich von $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n-5 \end{eqnarray*}$ kommst. Wenn die Näherung durch die Normalverteilung gerechtfertigt wäre, wäre $\begin{eqnarray*} P(X \geq 8) \end{eqnarray*}$ mit der Normalverteilung mit $\begin{eqnarray*} \mu= n p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt {n p(1-p)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=25 , p=0.1 \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Die Berechnung mit dieser Normalverteilung kann wie üblich auf die Standardnormalverteilung zurückgeführt werden. Berücksichtigt man die sogenannte Stetigkeitskorrektur, was zu empfehlen ist, wäre $\begin{eqnarray*} P(X \geq 7.5) \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

07.03.2019, 17:15

Alexxandro

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RE: Hypothesentest - Approximation mit Normalverteilung
Edit (mY+): Vollzitat entfernt!
@Alexxandro: Verwende zum Antworten NICHT den Zitat-Button, sondern den dafür vorgesehenen Antwort-Button!

Ich hatte deine Vorgehensweise auch schon in einer Formelsammlung gefunden.
Unser Prof hat die Näherungsweise mit $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n-5 \end{eqnarray*}$ als Voraussetzung für dichtome Grundgesamtheiten verwendet. Ich konnte diese Herangehensweise aber nicht wirklich finden....

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