"Matrix"identität

04.03.2019, 21:57	lini412	Auf diesen Beitrag antworten »
"Matrix"identität Hallo ihr Lieben, ich versuche gerade ein Beweis zu verstehen in dem folgende Identität gelten soll: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n A_k^2=\alpha^T Q \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb{R}^n \ Spaltenvektor \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} P \ nxn-Matrix \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Lambda \end{eqnarray}$ Diagonalmatrix mit $\begin{eqnarray} \lambda_1,...,\lambda_n \end{eqnarray}$ Diagonaleinträgen und $\begin{eqnarray} \Lambda^{1/2} \end{eqnarray}$ Diagonalmatrix mit $\begin{eqnarray} \lambda_1^{1/2},...,\lambda_n^{1/2} \end{eqnarray}$ Diagonaleinträgen $\begin{eqnarray} A_k = \sum_{l=1}^n \alpha_l \bigg( P^T \Lambda^{1/2} \bigg)_{l,k}, \forall k = 1, \cdots, n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q=P^T \Lambda P \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ orthogonal ist. Vielleicht könnt ihr mir dabei helfen. Schon mal Danke im voraus.
04.03.2019, 22:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Matrix"identität $\begin{eqnarray} \alpha^TQ\alpha=\alpha^TP^T\Lambda P\alpha=\left(\Lambda^{1/2}P\alpha\right)^T\left(\Lambda^{1/2}P\alpha\right)=\\|\Lambda^{1/2}P\alpha\\|_2^2 \end{eqnarray}$
04.03.2019, 23:45	lini412	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Matrix"identität Die letzte Gleichheit ist mir noch nicht klar, wie ist die Norm für dich definiert?
05.03.2019, 17:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Matrix"identität Für einen Spaltenvektor $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ mit Komponenten $\begin{eqnarray} u_1,u_2,\ldots ,u_n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} u^Tu=\\|u\\|_2^2=\sum_{i=1}^nu_i^2 \end{eqnarray}$ Dabei kann man jetzt wahlweise das linke oder rechte Gleichheitszeichen als Definition verwenden und dann das jeweils andere leicht nachrechnen.

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