Massive Verständnisprobleme

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Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
Massive Verständnisprobleme
Ich weiß weder ob das hier her gehört, noch ob solche Beiträge in dem Forum gern gesehen sind, aber ich bin gerade doch sehr dabei zu frusten und gedenke langsam, dieses Thema abzuschreiben.

Ich bin in Mathe generell ziemlich gut und habe überhaupt keine Probleme was Differenzial- Integralrechnung, Vektorgeometrie oder sogar den Vertiefungskurs oder Physik angeht. Bei der Stochastik aber verstehe ich fundamentale Zusammenhänge nicht, auch die einfachsten Aufgaben à la "welche Wahrscheinlichkeit hat man bei einem Würfel dafür, dass zwei aufeinander folgende Zahlen folgen?" erschließen sich mir nicht. Wenn ich dann die Lösung sehe, muss ich mir eingestehen, dass ich da selbst niemals drauf gekommen wäre.

Mein Problem ist, dass ich mein Problem nicht verstehe. Wenn ich versuche Stochastik/Statistik zu lernen ist es, als würde ich gegen eine Wand rennen. Ich mache 10 Übungen und habe wenn überhaupt die Ansätze richtig, aber die Ergebnisse sind meistens einfach falsch, da ich die logischen Ansätze entweder übersehe, oder falsch interpretiere.

Gibt es Leute hier die ähnliche Probleme vielleicht überwunden haben, wenn ja, wie? Ich wäre für Tipps oder Hinweise hier äußerst dankbar da ich allmählich wirklich verzweifle.

Sollte das Thema hier unerwünscht sein, bitte verschieben oder dicht machen...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich verstehen. Das ist eben ein weites Feld und deshalb interessant.
Mit dem auswendig lernen von Formeln ist es eben nicht getan.
Viele Aufgaben sind ganz verschieden formuliert aber inhaltlich gleich.
Das gilt es zu erkennen. Nicht umsonst gibt es z.B. die berühmte Urne mit den farbigen Kugeln mit und ohne Zurücklegen um all die Zufallsgeräte unter einen Hut zu bringen.

zu deinem Würfel: warum nicht "günstige Fälle" durch "mögliche Fälle" unter der Annahme, dass ein Laplace Experiment vorliegt.
Bleibt noch die Frage ob die Ereignisse ungeordnete Mengen oder geordnete Mengen sprich Tupel sind.
Auch einfache Fragen müssen erstmal gründlich überdacht werden. verwirrt
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte aus K.L. Chung, Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse, Springer 1978, zitieren. Dort gibt der Autor auf Seite 62 ein paar Hinweise zum Thema Kombinatorik:

Dieser Abschnitt könnte auch "Wie zählt man ab?" überschrieben sein. Vielen Studenten fallen diese Aufgaben schwer, zum Teil deshalb, weil sie in anderen mathematischen Elementarkursen dazu abgestumpft wurden, Aufgaben nach Kochbuchmanier zu behandeln wie etwa: "löse " oder "differenziere " (wenn es hoch kommt, dann vielleicht sogar zweimal) usw. Man kann solche Aufgaben bewältigen, indem man gewisse Regeln auswendig lernt, ohne irgendeinen selbständigen Gedanken. Natürlich gibt es bei "Permutationen und Kombinationen" diese Art von Aufgaben ebenfalls und Sie werden einige davon in den Übungsaufgaben finden. Zum Beispiel gibt es eine berühmte Formel für die Aufgabe "mit dem runden Tisch": "Auf wieviele verschiedene Weisen können 8 Leute an einem runden Tisch Platz nehmen?" Wenn Sie die Formel gelernt haben, dann können Sie die Aufgabe lösen, ohne zu wissen, was mit "verschieden" eigentlich gemeint ist. Dagegen könnte Sie eine kleine Abänderung in große Schwierigkeiten bringen. Es ist einfach eine Binsenweisheit, daß es keinen Ersatz für das wirkliche Verstehen gibt. Es ist indessen nicht leicht, die Prinzipien ohne konkrete Anwendungsfälle zu erfassen; die paar Beispiele im folgenden sind als "Testfälle" gedacht. Weitere stehen bei den Übungsaufgaben, und Sie sollten viele praktische Erfahrungen sammeln, wenn Sie ein Experte werden wollen. Bevor wir die Beispiele im Detail durchgehen, werden einige allgemeine Tips gegeben, die Ihnen helfen sollen, auf eigenen Füßen zu stehen. Sie sind notwendigerweise sehr allgemein und ziemlich vage, aber sie können manchmal eine gewisse Hilfe sein.

(a) Wenn Sie das Problem nicht voll
erfassen, betrachten Sie einen speziellen (doch nicht zu speziellen) Fall mit kleinen Zahlen, dann sehen Sie klarer. So behalten Sie im Auge, was abgezählt werden soll, und insbesondere entdecken Sie so leichter mehrfache Zählungen und Auslassungen.

(b) Unterteilen Sie das Problem, vorausgesetzt, daß die Teile einfacher, klarer und leichter zugänglich sind. Manchmal läßt sich das erreichen, indem man eine der "Variablen" konstant hält; als Teilproblem kann man vielleicht die Anzahl solcher Teile abzählen.

(c) Versuchen Sie nicht, Schritt für Schritt vorzugehen, wenn Sie sehen, daß die Sache rasch komplizierter wird. Von allen Warnungen, die ich meinen Hörern gab, wurde diese am wenigsten beachtet, obwohl sie wahrscheinlich die nützlichste ist. Schritt für Schritt abzuzählen mag für die ersten paar Schritte einfach erscheinen, aber sehen Sie auch, wie Sie zum Ende gelangen können?

(d) Geben Sie nicht auf, wenn die Formulierung des Problems zweideutig ist. Das liegt an Wortbedeutungen und ist keine mathematische Schwierigkeit. Gehen Sie alle Interpretationen durch, wenn es nötig ist. Für ein Quiz mag das nicht die beste Strategie sein; wenn Sie aber den Lehrstoff lernen wollen, ist das ein guter Weg. Auf keinen Fall sollten Sie sprachliche Zweideutigkeiten oder ein Übersehen dazu benutzen, eine vernünftige Aufgabe in eine triviale umzuwandeln (s. Aufgabe 13).


Nehmen wir einmal das Problem mit den zwei aufeinander folgenden Zahlen beim Würfeln. Jetzt könnte ich, da du die Aufgabe nicht klar formuliert hast, sie absichtlich mißverstehen. Du sagst nämlich nicht, wie oft gewürfelt wird. Wenn genau einmal gewürfelt wird, ist es offenbar unmöglich, zwei aufeinander folgende Zahlen zu würfeln. Also Wahrscheinlichkeit 0 für das unmögliche Ereignis. Aber da würde ich nach Professor Chung glatt eine vernünftige Aufgabe trivialisieren. Wird nun fünfmal gewürfelt? Oder zehnmal? Was soll es dann heißen, daß zwei Zahlen aufeinander folgen? Darüber nachzudenken, ist mir jetzt zu kompliziert, also beginne ich erst einmal damit, daß ich annehme, daß zweimal gewürfelt wird. So ist die Aufgabe wahrscheinlich auch gemeint.
Der häufigste Fehler bei Anfängern ist meiner Erfahrung nach, daß die Leute gleich anfangen zu rechnen. Das ist aber nur dann möglich, wenn man sich schon mit einer ähnlichen Aufgabe beschäftigt hat und gewisse Grundmuster oder gar die gesamte Aufgabe in vielleicht neuer Einkleidung wiedererkennt. Wenn man die Sache aber noch nicht durchschaut, ist es das Falscheste, was man tun kann. Wie also beginnen? Indem man sich alle Möglichkeiten, die beim zweimaligen Würfeln vorkommen, hinschreibt. Wenn ich sage: "alle", dann heißt das nicht, daß man mit dem Bleistift wirklich alle hinschreibt. Sondern es ist gemeint, daß man sich ein System ausdenkt, das man in Gedanken vor sich ausbreitet, in dem jede Möglichkeit genau einmal vorkommt. Tatsächlich hinschreiben wird man den Anfang dieses Systems, zum Beispiel so:

11 12 13 ...
21 22 23 ...
...

Das genügt unter Umständen schon. Man erkennt ein System aus 6 Zeilen, in jeder Zeile stehen 6 Ausgänge. Also gibt es insgesamt Möglichkeiten (Anzahl der möglichen Fälle). Jetzt geht man (in Gedanken) jeden der 36 Fälle durch und prüft, ob die Bedingung "zwei aufeinander folgende Zahlen" zutrifft. Man findet dafür die Möglichkeiten 12,23,...,56 und erkennt, daß es 5 an der Zahl sind (Anzahl der günstigen Fälle). Da alle 36 möglichen Fälle gleichwahrscheinlich sind, wie einem der gesunde Menschenverstand sagt, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit daher 5/36.
Jetzt könnte jemand einwenden: aber "aufeinander folgend" könnte doch auch abwärts gemeint sein. Stimmt. Du hast die Fragestellung nicht präzise genug gefaßt. Dann gehe nach Chungs Vorschlag doch auch noch diese Interpretation durch.
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für die Antworten. Dass es daran liegt, dass sich bei Stochastik insbesondere die Eingangsaufgaben fast nie nach Schema F lösen lassen, dachte ich mir schon (mit Hypothesentests komme ich besser klar, aber auch nur weil ich das Schema stumpf auswendig lernen kann - hierzu muss ich aber sagen dass ich bei anderen Mathematikthemen mehr Hintergrundverständnis besitze und nicht immer nur auswendig lerne). Dennoch fällt mir bei den "einfachen" Stochastikaufgaben das logische Denken ungleich schwerer als Kollegen von mir, die im Fach Mathematik generell schlecht sind. Da fange ich natürlich schon an zu denken ich bin einfach "zu dumm" für dieses Themengebiet.

Ich werde wohl einfach mal weiterhin die "typischen" Aufgaben Stück für Stück zerlegen und sehen, ob ich da ein Schema bzw. ein Muster erkennen kann, bzw irgendwas, was einen für diese Typen von Aufgaben sensibilisiert... verwirrt

EDIT: Was die Würfelaufgabe angeht war es fünfmal Würfeln, und die Wahrscheinlichkeit von zwei aufeinander folgenden Zahlen sollte bestimmt werden.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jan Schneider
EDIT: Was die Würfelaufgabe angeht war es fünfmal Würfeln, und die Wahrscheinlichkeit von zwei aufeinander folgenden Zahlen sollte bestimmt werden.


Ich finde, an dieser Aufgabenstellung ist überhaupt nichts klar. Ist zum Beispiel 44513 ein günstiger Ausgang oder nicht? Und 56312?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

schön, also 5-er Tupel.
Und wichtig sind immer "mindestens" "höchstens und "genau"
Und wie sind deine Überlegungen gewesen ?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dass es daran liegt, dass sich bei Stochastik insbesondere die Eingangsaufgaben fast nie nach Schema F lösen lassen, dachte ich mir schon [...]


Das stimmt so nicht unbedingt.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
Wenn das Zufallsexperiment mehrstufig ist:
   Wenn es keine Abbruchbedingungen gibt:
      Der Pfadbaum lässt sich trivial abflachen, bzw.
      die Ergebnismenge lässt sich als kartesisches Produkt darstellen.
      Wenn ein Laplace-Experiment vorliegt:
         Bestimme die Anzahl N der günstigen Ereignisse mittels
            kombinatorisches Unterprogramm(Beschreibung der günstigen Ereignisse);
         Die Wahrscheinlichkeit ist: N/|Ergebnismenge|;
      sonst:
         ...
   sonst:
      ...
sonst:
   ...

Kombinatorisches Unterprogramm:
   Wenn die Beschreibung keine symbolischen Parameter enthält:
      Wenn die Anzahl der günstigen Ereignisse vor der kombinatorischen Explosion liegt:
         Zähle brute force.
      sonst:
         ...
   sonst:
      ...

Ich sehe das Problem auch eher im Dekodieren ungenauer Aufgabenstellungen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich finde, an dieser Aufgabenstellung ist überhaupt nichts klar. Ist zum Beispiel 44513 ein günstiger Ausgang oder nicht? Und 56312?

Die naheliegendste Variante wäre m.E., dass in der Ergebnisfolge mindestens eine Zweiersequenz aufeinander (im Sinne "aufsteigend") folgender Augenzahlen existiert. In dem Sinne wären dann beide von dir genannten Ergebnisfolgen 44513 und 56312 günstig.

Die Wahrscheinlichkeitsberechnung dessen ist einigermaßen sperrig, selbst mit Siebformel angewandt auf mit

... Augenzahlen an Position und sind aufeinander folgend

noch ein ziemliches Monster, bis man zum Ergebnis kommt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
[...] ... Augenzahlen an Position und sind aufeinander folgend
[...] ... ein ziemliches Monster, bis man zum Ergebnis kommt.


mindestens ein Sprung um 1 war auch meine gefällige Annahme.

Der FS hat sich da aber auch ein Beispiel ausgesucht das man nicht so einfach nebenher löst. Jedenfalls ist mir so ad hoc nichts Vernünftiges eingefallen.
Oft sind die scheinbar schwierigen Fragen leicht(er) zu lösen. z.B. die Wkt nach einer "Sraße" im 5-Tupel = sauber ansteigende Treppe der Augenzahlen.
Daniel444 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab schon häufiger gehört, u.a. von meinem damaligen Mathelehrer, dass Schüler mit erheblichen Matheproblemen erstaunlich gut mit Stochastik zurecht kommen, während Matheasse ordentlich an ihre Grenzen kommen kömmen. Auch bei Matheprofis tritt das Phänomen gelegentlich auf. Zum Beispiel war Paul Erdös, einem der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrunderts, die Lösung das Ziegenproblems zunächst völlig unverständlich, und es bedurfte eines weiteren Mathematikers mit einer anderen Erklärung bis Paul Erdös die Lösung verstand, nachzulesen bei Wikipedia:

"Paul Erdös und das Ziegenproblem
Andrew Vázsonyi schildert, wie der berühmte Mathematiker Paul Erdös im Jahr 1995 auf das Ziegenproblem und die Behauptung der Lösung reagiert hat. Nachdem Vázsonyi zunächst von einem Freund von dem Problem, direkt angelehnt an vos Savants Originalversion, gehört hatte, löste er es mit einem Entscheidungsbaum und konnte die Lösung, die sich ergab, kaum glauben. Als er dann Problem und Lösung Erdös vorlegte, sagte „einer der größten Experten in Wahrscheinlichkeitstheorie“: Nein, das ist unmöglich. Da besteht kein Unterschied. Die Reaktion auf die Lösung mit dem Entscheidungsbaum beschreibt Vázsonyi so: Zu meiner Verblüffung überzeugte ihn das nicht. Er wollte eine einfache Lösung ohne Entscheidungsbäume. Ich gab an diesem Punkt auf, weil ich keine Erklärung auf der Basis des gesunden Menschenverstands habe. Es sei „hoffnungslos“ für jemanden, der sich in Entscheidungsbäumen und mit dem Satz von Bayes nicht auskenne, die Lösung zu verstehen. Als Vázsonyi von Erdös nach einer Stunde noch einmal gebeten wurde, ihm den Grund für den Wechsel zu nennen, führte er ihm schließlich eine Computersimulation vor. Laut Vázsonyi wandte Erdös ein, dass er den Grund immer noch nicht verstehe, er sei aber widerwillig überzeugt gewesen.

Einige Tage später teilte Erdös laut Vázsonyi mit, er habe die Lösung jetzt verstanden, nachdem ihm der Mathematiker Ron Graham die Begründung für die Antwort gegeben habe. Vázsonyi schreibt jedoch, dass er selbst diese Begründung nicht verstand."
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das gute alte Ziegenproblem. Augenzwinkern
Eine Erklärung ist, dass der Mensch ungern von seiner einmal getroffenen Entscheidung oder Meinung abrückt. Der Verstand wurde eben nicht mit evolutionär mit Wkt-Einsichten ausgestattet. Andere Kriterien waren wichtiger ( für's Überleben ) Stichwort Risikobewertung

Hier noch ein anderes kontraintuitives Spiel von mir und HAL9000 bearbeitet:

2 Spiele unbestimmter Länge
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
schön, also 5-er Tupel.
Und wichtig sind immer "mindestens" "höchstens und "genau"
Und wie sind deine Überlegungen gewesen ?


Ich denke, die Wahrscheinlichkeit für irgendeine Zahl im ersten Wurf ist 1/6, für irgendeine andere Zahl danach doch auch 1/6? verwirrt Ich begreif nicht wieso man hier das Gegenereignis nehmen und die Warscheinlichkeit "einschränken" muss? Ist doch egal was ich würfle, es sind immer 1/6. Also nach den Pfadregeln 1/6^5 ? Ich weiß dass diese Überlegung ziemlich falsch ist, hier würde mir eine Erklärung aber wahrscheinlich einen Teil der Verständnisprobleme nehmen.

Ich hab mir hier noch den Kopf über eine etwas abgewandelte Aufgabenform zerbrochen, nämlich mit zwei Würfeln gleichzeitig.
Da habe ich z.B. gedacht dass wenn ich zwei Würfel gleichzeitig werfe, die Wahrscheinlichkeit für zwei aufeinander folgende Zahlen doch genauso hoch ist wie für einen Pasch, 52, 41, 63 oder sonst irgendwas? verwirrt Viel weiter kam ich nicht, aber was ist an dieser ersten Überlegung falsch?

Zitat:
Original von Leopold
Ich finde, an dieser Aufgabenstellung ist überhaupt nichts klar. Ist zum Beispiel 44513 ein günstiger Ausgang oder nicht? Und 56312?


Stimmt, ich habe die Aufgabenstellung auch nicht 1:1 wiedergegeben, ich habe mir einfach ein Beispiel ausgedacht was mir Probleme bereiten würde. Für die Verwirrung bitte ich um Entschuldigung.

Ich bin aber auch an den "einfachen" Stochastikaufgaben aus einem Abiturwahlteil gescheitert (ich bereite mich zur Zeit darauf vor, bin Abendgymnasiast und schreibe jetzt bald das Mathe-Abitur...).
Da waren folgende Aufgaben gegeben:

Zwei ideale Würfel werden gleichzeitig geworfen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei verschiedene Augenzahlen
fallen.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine „1“ und eine „2“?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigen die Würfel zwei aufeinanderfolgende Zahlen?

Die geben 1 VP pro Aufgabenteil, und ich hab einfach mal alle drei falsch gemacht... Da kommt man sich dann in der Tat ziemlich blöd vor.

Ich habe auch hier den "Fehler" gemacht, immer 1/6 als Wahrscheinlichkeit anzunehmen. Wenn ich zwei gleichzeitig werfe, ist die Wahrscheinlichkeit doch wie ich oben mal angeschnitten habe für einen Pasch, 12, 23, 45 oder sonst irgendwas immer die gleiche?!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jan Schneider
Ich habe auch hier den "Fehler" gemacht, immer 1/6 als Wahrscheinlichkeit anzunehmen.

Es sind zwei Würfel, also hat jedes Zweierwurfergebnis die Wahrscheinlichkeit , wobei man von unterscheidbaren Würfeln (egal ob sie es sind oder nicht) ausgeht.

Zitat:
Original von Jan Schneider
Wenn ich zwei gleichzeitig werfe, ist die Wahrscheinlichkeit doch wie ich oben mal angeschnitten habe für einen Pasch, 12, 23, 45 oder sonst irgendwas immer die gleiche?!

Nein: Ein bestimmter Pasch wie 11 hat die Wahrscheinlichkeit , das ist die für den Wurf (1,1).

12 hingegen wird erreicht durch den Wurf (1,2) oder aber (2,1), das macht Wahrscheinlichkeit .

Dementsprechend sind die Antworten

a)

b)

c)
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Dementsprechend sind die Antworten

a)

b)

c)


Mit b komme ich jetzt soweit klar, was die a und c angeht bräuchte ich aber noch einen kleinen Denkanstoß...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) Der erste Würfel kann eine beliebige Augenzahl zeigen (6 Möglichkeiten), die Augenzahl des zweiten Würfels muss sich dann aber von dieser ersten Augenzahl unterscheiden (6-1=5 Möglichkeiten).

Zu b) Das hat Leopold doch oben erläutert: 5 Möglichkeiten für aufsteigend geordnete Paare 12, 23, ... , 56. Dasselbe dann nochmal für absteigende (bzw. alternative Begründung: Vertauschung der Würfel) ergibt Faktor 2.
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zu a) Der erste Würfel kann eine beliebige Augenzahl zeigen (6 Möglichkeiten), die Augenzahl des zweiten Würfels muss sich dann aber von dieser ersten Augenzahl unterscheiden (6-1=5 Möglichkeiten).

Zu b) Das hat Leopold doch oben erläutert: 5 Möglichkeiten für aufsteigend geordnete Paare 12, 23, ... , 56. Dasselbe dann nochmal für absteigende (bzw. alternative Begründung: Vertauschung der Würfel) ergibt Faktor 2.


Danke, mit der Erklärung erschließt sich mir das!
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