Münzwurf, Sigma-Algebra

05.03.2019, 21:56	abc12	Auf diesen Beitrag antworten »
Münzwurf, Sigma-Algebra Seit $\begin{eqnarray} \xi_1, \xi_2, \ldots \end{eqnarray}$ eine Folge von Zufallsvariablen, die einen Münzwurf beschreiben: $\begin{eqnarray} \xi_n=\begin{cases}+1, & \mathrm{Kopf}\\-1, & \mathrm{Zahl}\end{cases} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_n \end{eqnarray}$ die Sigma-Algebra erzeugt durch $\begin{eqnarray} \xi_1, \xi_2, \ldots \xi_n \end{eqnarray}$ Ich möchte das kleinste $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ finden, sodass das folgende Ereignis in $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_n \end{eqnarray}$ liegt, falls ein solches $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ existiert. a) A=Kopf erscheint das erste Mal nach höchstens 10 Mal Zahl b) B=Es kommt mindestens 1x Kopf in der gesamte Folge vor. c) C=Die ersten 100 Würfe haben alle dasselbe Ergebnis d) D=Kopf und Zahl kommen jeweils nicht mehr als 2 Mal vor unter den ersten 10 Würfen Wie genau löst man das? Könnt mir jmd anhand von einem Ereignis erklären wie man das macht? Danke!
06.03.2019, 09:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du musst die kleinste Anzahl an Würfen (von Beginn an) finden, so dass du anhand deren Ergebnis entscheiden kannst, ob das beschriebene Ereignis eintritt oder nicht. Am Beispiel von a): n-mal Zahl und dann Kopf bedeutet Kopf im (n+1)-ten Versuch, im worst-case n=10 sind das also 11 Versuche. D.h., nach spätestens 11 Versuchen kann entschieden werden, ob das Ereignis eintritt oder nicht, d.h., das Ereignis liegt in $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_{11} \end{eqnarray}$ . Eine Besonderheit ist d), da saß den Autoren der Schalk im Nacken: Jeweils nicht mehr als zweimal macht insgesamt höchstens viermal Kopf oder Zahl, was bei 10 Würfen natürlich nicht möglich ist, es handelt sich also um das unmögliche Ereignis. Das liegt bereits in $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_0 = \left\{\emptyset,\Omega\right\} \end{eqnarray}$ .
06.03.2019, 23:45	abc12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht es bei b) aus? Ist es $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_\infty \end{eqnarray}$ ?
07.03.2019, 09:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sofern damit wie üblich $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_{\infty} := \sigma(\xi_1,\xi_2,\ldots) \end{eqnarray}$ gemeint ist.
07.03.2019, 09:38	abc12	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder könnte man da argumentieren, dass es so ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ nicht gibt?
07.03.2019, 10:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So kann man es auch sagen: Bei jedem endlichen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gibt es einen Fall, wo nicht entschieden werden kann, ob b) eintritt oder nicht: Wenn nämlich $\begin{eqnarray} \xi_1 = \ldots = \xi_n = -1 \end{eqnarray}$ ist.
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