Ableitung einer komplexen Funktion

06.03.2019, 19:35	Silencium92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer komplexen Funktion Hallo, gegeben sei eine komplex-analytische Funktion: $\begin{eqnarray} w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) \end{eqnarray}$ In einem Script zur Hydrodynamik habe ich gesehen, dass folgende Relation gelten soll: $\begin{eqnarray} \frac{df}{dz}=\frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand erklären warum diese Gleichheit gilt. Gruß
06.03.2019, 22:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die komplexe Funktion $\begin{align} f \end{align}$ in $\begin{align} z \in \mathbb{C} \end{align}$ differenzierbar, so existiert der Limes $\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = f'(z) \end{align}$ Die Limesbildung erstreckt sich dabei über alle $\begin{align} h \in \mathbb{C} \end{align}$ mit $\begin{align} h \neq 0 \end{align}$ von genügend kleinem Betrag. Schreibt man kanonisch $\begin{align} z = x + \operatorname{i}y \end{align}$ und $\begin{align} f(z) = u(x,y) + \operatorname{i} v(x,y) \end{align}$ , so folgt, wenn man zusätzlich $\begin{align} h \in \mathbb{R} \end{align}$ spezialisiert: $\begin{align} f'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h,y)-u(x,y) + \operatorname{i} \left( v(x+h,y)-v(x,y) \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h} + \operatorname{i} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h} \end{align}$ $\begin{align} = \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) + \operatorname{i} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(z) \end{align}$

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