Eigenwerte und -vektoren berechnen

06.03.2019, 22:02

MatheFredo

Eigenwerte und -vektoren berechnen

Gegeben sei eine Matrix

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & \sqrt{8} \\ \sqrt{8} & 5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die gesuchten Eigenwerte und die Eigenvektoren.

Mein Ansatz:

Wir haben eine 2x2 Matrix gegeben.

die Eigenwerte erhalte ich über: $\begin{eqnarray*} det (A-\lambda *I) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3-\lambda & \sqrt{8} \\ \sqrt{8} & 5-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - 8\lambda + 7 \end{eqnarray*}$ => dies ist charakteristische Polynom

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - 8\lambda + 7 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=7 \vee \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$

Die Eigenvektoren erhalte ich über $\begin{eqnarray*} (A-\lambda * I) * \vec{v_1} \end{eqnarray*}$ = 0

für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=7 \end{eqnarray*}$

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & \sqrt{8} \\ \sqrt{8} & -2 \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0

LGS:

I $\begin{eqnarray*} -4x_1+\sqrt{8}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} \sqrt{8}x_1 - 2x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich kriege das LGS irgendwie nicht gelöst. Sind die Ansätze überhaupt richtig?

Könnte mir jemand bitte weiterhelfen?
Ich hätte keine Komplettlsg., sondern würde mit eurer Hilfe die Aufgabe Schritt für Schritt bewältigen wollen.

LG

MatheFredo

06.03.2019, 23:06

Elvis

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Dividiere die erste Gleichung durch $\begin{eqnarray*} - \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ , dann erkennst du, dass du auf dem richtigen Weg bist.

07.03.2019, 10:52

MatheFredo

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Danke, aber ich habe noch einen anderen Ansatz gefunden.

I) $\begin{eqnarray*} -4x_1+\sqrt{8}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} \sqrt{8}x_1 - 2x_2 = 0 |*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

II* $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ : II'
$\begin{eqnarray*} 4x_1 - (2*\sqrt{2})x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x_1 - \sqrt{8}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

I+II': III 0=0 w.A.

also können $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ beliebige Werte annehmen? z.B. $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$ ?

07.03.2019, 11:00

Elvis

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Wo der andere Ansatz ist verstehe ich nicht. Es ist doch ziemlich egal, ob man eine Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ multipliziert oder die andere durch $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ dividiert.

Deine weitere Vorgehensweise ist nicht sinnvoll. Aus der Gleichung y=x zusammen mit der Gleichung y=x darf man doch nicht schließen, dass diese Gleichung(en) durch alle x und y erfüllt sind. Auch aus der Tatsache 0=0 kann man nicht schließen, dass jedes Gleichungssystem durch alle beliebigen Zahlen erfüllt wird.

07.03.2019, 11:04

MatheFredo

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Bei der Division der ersten Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ würde ich $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ aus dem Gleichungssystem zuerst eliminieren? Das sähe dann folgendermaßen aus:

I) $\begin{eqnarray*} -4x_1+\sqrt{8}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ |: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} \sqrt{8}x_1 - 2x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

I: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ = I'
I': $\begin{eqnarray*} -4/\sqrt{2} x_1 +2x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

I'+II= III

III 0=0 w.A.

so sähe der Ansatz mit geteilt durch Wurzel 2 aus.

07.03.2019, 11:10

MatheFredo

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Zitat:

Original von Elvis
Aus der Gleichung y=x zusammen mit der Gleichung y=x darf man doch nicht schließen, dass diese Gleichung(en) durch alle x und y erfüllt sind. Auch aus der Tatsache 0=0 kann man nicht schließen, dass jedes Gleichungssystem durch alle beliebigen Zahlen erfüllt wird.

Aber man kann schließen, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat?

07.03.2019, 11:39

HAL 9000

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Irgendwie kann man gewisse Zweifel haben, dass du wirklich weißt, was du da tust. Du löst das homogene Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} (A-\lambda E)x=0 \end{eqnarray*}$ ja in der Absicht, Eigenvektor(en) zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu finden.

Sofern du dich nicht beim Berechnen des Eigenwerts $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bzw. dann beim Aufstellen der Matrix $\begin{eqnarray*} A-\lambda E \end{eqnarray*}$ verrechnet hast, MUSS dieses homogene Gleichungssystem unendlich viele Lösungen haben! Das sollte also keine Überraschung sein. Eine eindeutige Lösung würde bedeuten die Lösung $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , die gewiss keinen Eigenvektor darstellt.

07.03.2019, 11:57

MatheFredo

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Zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1=7 \end{eqnarray*}$ komme ich auf den zugehörigen Eigenvektor über

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda * I) * \vec{v_1} \end{eqnarray*}$ = 0
A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & \sqrt{8} \\ \sqrt{8} & -2 \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0

I) $\begin{eqnarray*} -4x_1+\sqrt{8}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} \sqrt{8}x_1 - 2x_2 = 0 |*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

II* $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ : II'
II': $\begin{eqnarray*} 4x_1 - (2*\sqrt{2})x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
II': $\begin{eqnarray*} 4x_1 - \sqrt{8}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

I+II': III 0=0 w.A.

Das homogene Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, zB. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ = -1 und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ =1

Der Eigenvektor würde zum gegebenen Eigenwert, zum Beispiel lauten $\begin{eqnarray*} \vec{v_1} = 1/\sqrt{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

07.03.2019, 12:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheFredo
Das homogene Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, zB. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ = -1 und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ =1

Unendlich viele Lösungen ja - aber diese von dir angegebene ist keine davon. Hast du mal die Probe gemacht? Was stellst du da nur an. unglücklich

Setz doch einfach mal einen Wert beliebig, z.B. eben $\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$ und rechne dann das zugehörige $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ via $\begin{eqnarray*} 4x_1 - \sqrt{8}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ aus. Da kommt NICHT $\begin{eqnarray*} x_1 \stackrel{?}{=}-1 \end{eqnarray*}$ heraus, sondern $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ .

07.03.2019, 12:07

Elvis

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Man kann nicht von "dem" Eigenvektor sprechen, weil alle von 0 verschiedenen Vielfachen eines Eigenvektors Eigenvektoren sind. Der Eigenraum ist eine Gerade, aber nicht diese. Früher wusste JEDER SCHÜLER, was eine Gerade ist.

07.03.2019, 12:32

MatheFredo

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Zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1=7 \end{eqnarray*}$ komme ich auf den zugehörigen Eigenvektor über

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda * I) * \vec{v_1} \end{eqnarray*}$ = 0
A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & \sqrt{8} \\ \sqrt{8} & -2 \\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0

I) $\begin{eqnarray*} -4x_1+\sqrt{8}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} \sqrt{8}x_1 - 2x_2 = 0 |*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

II* $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ : II'
II': $\begin{eqnarray*} 4x_1 - (2*\sqrt{2})x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
II': $\begin{eqnarray*} 4x_1 - \sqrt{8}x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

I+II': III 0=0 w.A.

Das homogene Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, zB. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{8}/4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ =1

Der Eigenvektor würde zum gegebenen Eigenwert, zum Beispiel lauten $\begin{eqnarray*} \vec{v_1} = 1/\sqrt{3/2} \begin{pmatrix} \sqrt{8}/4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Ich weiss, was ich rechnen muss, aber muss mich näher damit beschäftigen, wie ich es mir vorstellen/visualisieren kann.

07.03.2019, 12:58

Elvis

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Nochmal: Es gibt nicht "den" Eigenvektor, jeder Vektor $\begin{eqnarray*} (x,y)\ne (0,0) \end{eqnarray*}$ des Eigenraums $\begin{eqnarray*} y=\sqrt 2 x \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ . Dein Beispiel gehört auch dazu.

Eine Gerade kann man sich so vorstellen: waagerecht $\begin{eqnarray*} x=x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse, senkrecht $\begin{eqnarray*} y=x_2 \end{eqnarray*}$ -Achse.

07.03.2019, 13:17

HAL 9000

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MatheFredo scheint mit "Eigenvektor" stets nur "normierte Eigenvektoren" zu meinen, von denen es (bei Eigenraumdimension 1) natürlich immer nur zwei verschiedene geben kann, die sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden. Das wohl mit dem Ziel einer Orthogonalmatrix als Transformationsmatrix.

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