Wärmeleitung aus einer inneren Quelle zylindrischer Körper

07.03.2019, 10:12

punktlandung3

Wärmeleitung aus einer inneren Quelle zylindrischer Körper

Also mir macht diese Frage zu schaffen:

Ist es zulässig, aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\int_{}^{} \! \frac{f(z)}{dz} \, dz \end{eqnarray*}$ den Gradienten von f nach z zu machen, wenn die Integrationsgrenzen von 0 bis z laufen? Ich war davon ausgegangen, dass das df(z) als delta-f(z) dann dahin mitgenommen werden kann. Es soll die Differentialgleichung für die Wärmeleitung von einer inneren Wärmequelle aus einem Zylinder 0=(1/r)*(d/dr)(r*(dT/dr))+(q'_diss/Lambda(T)) für diesen Fall integriert werden.
VG und danke für Antworten.

Übrigens ist das auch ein bisschen Analysis, wie ich feststellen muss, nur die Fragestellen-Funktion macht im Moment Probleme? Beim Erstellen aus dem Forum ist die Kategorie ja dann vorgegeben.

Zwei Beiträge zusammengefasst und Thema in Analysis verschoben. Steffen

07.03.2019, 10:28

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\int \frac{f(z)}{\dd z} ~ \dd z \end{eqnarray*}$ macht für mich syntaktisch keinen Sinn:

Vielleicht meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\int \frac{\dd f(z)}{\dd z} ~ \dd z \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\int \frac{f(z)}{z} ~ \dd z \end{eqnarray*}$ , keine Ahnung, aber so wie oben geht es nicht. unglücklich

07.03.2019, 18:15

punktlandung3

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Ob es dann Sinn macht, kann ich noch nicht sagen Wink

gemeint ist die erstere Form!

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

09.03.2019, 11:02

Huggy

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RE: Wärmeleitung aus einer inneren Quelle zylindrischer Körper
Auch wenn du glaubst, es geht nur um eine mathematische Frage, wäre es hilfreich, erst mal das physikalische Problem sauber zu beschreiben.

Zitat:

Original von punktlandung3
Es soll die Differentialgleichung für die Wärmeleitung von einer inneren Wärmequelle aus einem Zylinder 0=(1/r)*(d/dr)(r*(dT/dr))+(q'_diss/Lambda(T)) für diesen Fall integriert werden.

Geht es hier um einen Vollzylinder oder einen Hohlzylinder?
Soll $\begin{eqnarray*} q'_{diss} \end{eqnarray*}$ die volumetrische und zeitlich konstante Wärmeerzeugung im Zylindermaterial sein?
Soll die Wärmeleitfähigkeit $\begin{eqnarray*} \lambda (T) \end{eqnarray*}$ tatsächlich temperaturabhängig angenommen werden? Falls ja, welche Form hat $\begin{eqnarray*} \lambda (T) \end{eqnarray*}$ ?
Welche Randbedingung besteht an der Außenseite des Vollzylinders bzw. an der Außen- und Innenseite des Hohlzylinders?

09.03.2019, 21:40

punktlandung3

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RE: Wärmeleitung aus einer inneren Quelle zylindrischer Körper
Nun das ist dann aber kein Glaube, sondern ein Interesse von mir an Einzelheiten einer mathematischen Konvention. Das physikalische Problem ist vielleicht nicht sauber beschrieben insofern, als dass der Wärmeleitungskoeffizient tatsächlich nur formal von der Temperatur abhängt, für die Berechnung aber als konstant angenommen wird. Außerdem ist auch der Zähler aus volumetrischer Dissipationswärme für mich nicht nachvollziehbar in dieser Gleichung, für meine Frage aber nicht weiter von Bedeutung. Ich bin davon ausgegangen, dass es eine bekannte Gleichung ist. Es steht mir auch nicht zu, diese Gleichung zu hinterfragen, da sie ohne jede Herleitung in der Aufgabenstellung gegeben ist. Es kann also durchaus eine rein technische Gleichung sein, die in dem geforderten Umfang veränderbar ist.

Die Randbedingungen sind auch ein interessanter Punkt, da sie ja einen Anfangswert im Zylinderkern und einen endlichen Endwert besitzen. Vielleicht ist es möglich, später eine Antwort zu finden.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\int_{}^{} \! \frac{d(f(z))}{dz} \, dz \end{eqnarray*}$

10.03.2019, 08:46

Huggy

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RE: Wärmeleitung aus einer inneren Quelle zylindrischer Körper

Zitat:

Original von punktlandung3
Nun das ist dann aber kein Glaube]

Warten wir das mal ab. Der Einfachheit halber bezeichne ich Wärmeerzeugung mal mit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ . Außerdem nehme ich mal an, es geht um einen Vollzylinder. Die DGL lässt sich nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ schreiben als

$\begin{eqnarray*} \frac d {dr} \left (r \frac {dT}{dr} \right )= - \frac q {\lambda} r \end{eqnarray*}$

Das lässt sich sofort einmal integrieren.

$\begin{eqnarray*} r \frac {dT}{dr}=- \frac q {2 \lambda} r^2 +c \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ ist die linke Seite $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Damit dann auch die rechte Seite $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wird, muss die Konstante $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ sein. Nach Division durch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ hat man jetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac {dT}{dr}=- \frac q {2 \lambda} r \end{eqnarray*}$

Das lässt sich wieder sofort integrieren.

$\begin{eqnarray*} T=- \frac q {4 \lambda} r^2 +d \end{eqnarray*}$

Wenn man als Randbedingung eine gegebene Temperatur $\begin{eqnarray*} T_a \end{eqnarray*}$ am Außenradius $\begin{eqnarray*} r_a \end{eqnarray*}$ hat, gilt

$\begin{eqnarray*} T_a=- \frac q {4 \lambda} r_a^2 +d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=T_a + \frac q {4 \lambda} r_a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(r)=T_a + \frac q {4 \lambda} (r_a^2-r^2) \end{eqnarray*}$

Es ist für mich nicht ersichtlich, wo das von dir geglaubte Problem auftritt.

Edit: Obwohl es mir extrem unwahrscheinlich erscheint, hast du vielleicht genau das Problem, das du hingeschrieben hast, nämlich, was ergibt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\int_{}^{} \! \frac{d(f(z))}{dz} \, dz \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{d(f(z))}{dz}=f'(z) \end{eqnarray*}$

die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ . also ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\int_{}^{} \! \frac{d(f(z))}{dz} \, dz=\int f'(z) dz =f(z) +c \end{eqnarray*}$

Das ist die Definition des unbestimmten Integrals bzw. der Stammfunktion. Bitte, bitte, bitte sag mir, dass das nicht dein Problem war.

26.11.2019, 23:40

Ulrich Ruhnau

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RE: Wärmeleitung aus einer inneren Quelle zylindrischer Körper

Zitat:

Original von punktlandung3
Ist es zulässig, aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\int_{}^{} \! \frac{f(z)}{dz} \, dz \end{eqnarray*}$ den Gradienten von f nach z zu machen, wenn die Integrationsgrenzen von 0 bis z laufen?

Also rein formal: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}\int_{0}^{z} \! \frac{df(\xi)}{d\xi} \, d\xi=\frac{f(z)-f(0)}{z} \end{eqnarray*}$

Damit will ich sagen, daß eine Integrationsvariable (hier $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ) nicht mit den Integrationsgrenzen (hier $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ) übereinstimmen darf.
Ansonsten schließe ich mich den Ausführungen von Huggy an. Eine saubere Rechnung! Vermutlich handelt es sich um einen erhitzten Draht, der von einer dicken Isolierschicht umgeben ist.

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