Explizites Euler-Verfahren im Bezug auf das mathematische Pendel

11.03.2019, 00:53

DieNiete

Explizites Euler-Verfahren im Bezug auf das mathematische Pendel

Guten Abend,

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.

Dabei ist die Hamiltonsche Energie mit $\begin{eqnarray*} H(p,\varphi) = \frac{p^2}{2ml^2}+mgl*(1-cos(\varphi)) \end{eqnarray*}$
gegeben.

Die Bewegungsgleichungen lauten
$\begin{eqnarray*} p' = -\frac{H(p,\varphi)}{dp} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \varphi' = \frac{H(p,\varphi)}{d\varphi} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellung lautet: Berechnen Sie mithilfe des expliziten Euler-Verfahrens $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ & 3 Zeitschritte die Werte für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} \varphi' \end{eqnarray*}$ .

Anfangsbedingungen: $\begin{eqnarray*} \varphi(0)= \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} \varphi'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Was ich bisher habe ist:

$\begin{eqnarray*} \varphi_(n+1) = \varphi_n+h*\frac{dH}{dp_n} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \varphi_(n+1)' = \varphi'_n+h*(-\frac{dH}{d\varphi_n}) \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht weiter, wie ich die Aufgabe lösen soll.
Ich bin für jede Hilfe bzw Korrektur dankbar.

11.03.2019, 09:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von DieNiete
Die Bewegungsgleichungen lauten
$\begin{eqnarray*} p' = -\frac{H(p,\varphi)}{dp} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \varphi' = \frac{H(p,\varphi)}{d\varphi} \end{eqnarray*}$

Da liegt wohl eine kleine Verwechslung vor: Es sollte sicher $\begin{eqnarray*} p' = -\frac{\partial H(p,\varphi)}{\partial {\color{red}\varphi}},\; \varphi' = \frac{\partial H(p,\varphi)}{\partial {\color{red}p}} \end{eqnarray*}$ heißen.

P.S.: Bezeichnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ hat mich etwas verwirrt, weil das normalerweise für Impuls steht - bei dir allerdings hat es stattdessen die physikalische Bedeutung Drehimpuls.

11.03.2019, 10:15

DieNiete

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Zitat:

Original von HAL 9000

Da liegt wohl eine kleine Verwechslung vor: Es sollte sicher $\begin{eqnarray*} p' = -\frac{\partial H(p,\varphi)}{\partial {\color{red}\varphi}},\; \varphi' = \frac{\partial H(p,\varphi)}{\partial {\color{red}p}} \end{eqnarray*}$ heißen.

P.S.: Bezeichnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ hat mich etwas verwirrt, weil das normalerweise für Impuls steht - bei dir allerdings hat es stattdessen die physikalische Bedeutung Drehimpuls.

In der Aufgabenstellung steht das genauso, wie ich es geschrieben habe. Aber vielleicht war es vom Aufgabensteller falsch formuliert.

Ich hab mal gestern versucht, die Aufgabe zu lösen. Was ich weiter gemacht habe, ist:

$\begin{eqnarray*} \varphi_1 = \varphi_0+h*(\frac{p}{ml^2}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \varphi_1' = \varphi'_0+h*(-mgl*(1+sin(\varphi_0))) \end{eqnarray*}$

geg: m=10kg, l=0,65m

Wenn ich das dann so einsetze, bekomme ich $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von p raus. Oder bin ich hier komplett auf dem Holzweg?

11.03.2019, 11:31

HAL 9000

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Ok, du willst $\begin{eqnarray*} \varphi_n \end{eqnarray*}$ als Näherung von $\begin{eqnarray*} \varphi(nh) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ als Näherung von $\begin{eqnarray*} p(nh) \end{eqnarray*}$ bestimmen mit dem einfachen Eulerverfahren.

Dann besteht mit den Startwerten $\begin{eqnarray*} \varphi_0=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} p_0=0 \end{eqnarray*}$ die Rekursion

$\begin{eqnarray*} \varphi_{n+1} &=& \varphi_n + h\frac{\partial H}{\partial p}(p_n,\varphi_n) = \varphi_n + h\frac{p_n}{ml^2}\\ p_{n+1} &=& p_n - h\frac{\partial H}{\partial \varphi}(p_n,\varphi_n) = p_n - h~mgl\sin(\varphi_n) \end{eqnarray*}$ .

Deine Zeile mit $\begin{eqnarray*} \varphi_1' \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht: Es geht ja eher um die Iteration der Drehimpulswerte, wie ich es in der zweiten Zeile gerade eben beschrieben habe: Drehimpuls $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi' \end{eqnarray*}$ sind aber NICHT dasselbe, sondern hängen nur linear voneinander ab via $\begin{eqnarray*} p = ml^2\varphi' \end{eqnarray*}$ (das folgt wiederum aus $\begin{eqnarray*} \varphi' = \frac{\partial H(p,\varphi)}{\partial p} \end{eqnarray*}$ ).

Wenn du statt mit $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ mit den Werten $\begin{eqnarray*} \varphi_n':=\frac{p_n}{ml^2} \end{eqnarray*}$ deine Rekursion aufbauen willst, dann lautet diese nach dieser Substitution so:

$\begin{eqnarray*} \varphi_{n+1} &=& \varphi_n + h\varphi_n'\\ \varphi_{n+1}' &=& \varphi_n' - h\frac{g}{l}\sin(\varphi_n) \end{eqnarray*}$ .

11.03.2019, 12:01

DieNiete

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Zitat:

Original von DieNiete

$\begin{eqnarray*} \varphi_1' = \varphi'_0+h*(-mgl*(1+sin(\varphi_0))) \end{eqnarray*}$

Ich sehe gerade, dass ich falsch abgeleitet habe. Das sollte natürlich

$\begin{eqnarray*} \varphi_1' = \varphi'_0-h*mgl*sin(\varphi_0) \end{eqnarray*}$

heißen, was aber nichts daran ändert das es falsch ist.

@HAL 9000

Alles klar, jetzt hab ich eine Vorstellung, wie ich das ganze angehen muss. Ich versuch das ganze mal mit dem Impliziten Euler. Dafür muss ich das nichtlineare System z.B. mit dem Newton-Verfahren lösen, richtig?

11.03.2019, 12:07

HAL 9000

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Oben war noch von expliziten Eulerverfahren die Rede, nun soll es dann doch das implizite sein? D.h. dann also

$\begin{eqnarray*} \varphi_{n+1} &=& \varphi_n + h\varphi_{n+1}'\\ \varphi_{n+1}' &=& \varphi_n' - h\frac{g}{l}\sin(\varphi_{n+1}) \end{eqnarray*}$

Na dann viel Freude beim Auflösen dieser Nichtlinearen Gleichung.

11.03.2019, 12:27

DieNiete

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Die Aufgabe habe ich mir nicht selber ausgedacht. Das war eine Klausuraufgabe im letzten Jahr in meinem Studium. Teilaufgabe a war das ganze mit dem expliziten Euler zu berechnen, Teilaufgabe b mit dem impliziten Euler.

11.03.2019, 12:48

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Bezeichnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ hat mich etwas verwirrt, weil das normalerweise für Impuls steht - bei dir allerdings hat es stattdessen die physikalische Bedeutung Drehimpuls.

Das passt schon zusammen. In der Lagrange- und der Hamilton-Mechanik arbeitet man mit verallgemeinerten Koordinaten und Impulsen. Wenn eine verallgemeinerte Koordinate nicht die Dimension einer Länge hat, hat auch der zugehörige verallgemeinerte Impuls nicht die Dimension des üblichen Impulses. Die verallgemeirte Koordinate ist hier die Winkelkoordinate $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Der zu ihr gehörende verallgemeinerte Impuls ist gerade der Drehimpuls.

11.03.2019, 14:14

HAL 9000

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Ja, schon klar, was auch mehr eine Frage der Symbolwahl: Allgemein ist bei diesem Hamilton-Kalkül meist von $\begin{eqnarray*} H(p,q) \end{eqnarray*}$ die Rede. Da der Fragesteller schon Ortskoordinate $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ in eine gängige Winkelbezeichung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ umbenannt hatte, wäre ja genausogut denkbar gewesen, auch gleich die Impulskoordinate $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ zu nennen, dem üblichen physikalischen Symbol für Drehimpuls, d.h. dann $\begin{eqnarray*} H(L,\varphi) \end{eqnarray*}$ . So sieht es für mich etwas inkonsequent aus, sozusagen auf halbem Wege stehengeblieben. Augenzwinkern

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