Explizites Euler-Verfahren im Bezug auf das mathematische Pendel

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DieNiete Auf diesen Beitrag antworten »
Explizites Euler-Verfahren im Bezug auf das mathematische Pendel
Guten Abend,

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.

Dabei ist die Hamiltonsche Energie mit
gegeben.

Die Bewegungsgleichungen lauten
und


Die Aufgabenstellung lautet: Berechnen Sie mithilfe des expliziten Euler-Verfahrens & 3 Zeitschritte die Werte für & .

Anfangsbedingungen: &

Was ich bisher habe ist:


und


Jetzt weiß ich nicht weiter, wie ich die Aufgabe lösen soll.
Ich bin für jede Hilfe bzw Korrektur dankbar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DieNiete
Die Bewegungsgleichungen lauten
und

Da liegt wohl eine kleine Verwechslung vor: Es sollte sicher heißen.


P.S.: Bezeichnung hat mich etwas verwirrt, weil das normalerweise für Impuls steht - bei dir allerdings hat es stattdessen die physikalische Bedeutung Drehimpuls.
 
 
DieNiete Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000

Da liegt wohl eine kleine Verwechslung vor: Es sollte sicher heißen.

P.S.: Bezeichnung hat mich etwas verwirrt, weil das normalerweise für Impuls steht - bei dir allerdings hat es stattdessen die physikalische Bedeutung Drehimpuls.


In der Aufgabenstellung steht das genauso, wie ich es geschrieben habe. Aber vielleicht war es vom Aufgabensteller falsch formuliert.

Ich hab mal gestern versucht, die Aufgabe zu lösen. Was ich weiter gemacht habe, ist:



und



geg: m=10kg, l=0,65m

Wenn ich das dann so einsetze, bekomme ich in Abhängigkeit von p raus. Oder bin ich hier komplett auf dem Holzweg?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du willst als Näherung von und als Näherung von bestimmen mit dem einfachen Eulerverfahren.

Dann besteht mit den Startwerten sowie die Rekursion

.

Deine Zeile mit verstehe ich nicht: Es geht ja eher um die Iteration der Drehimpulswerte, wie ich es in der zweiten Zeile gerade eben beschrieben habe: Drehimpuls und sind aber NICHT dasselbe, sondern hängen nur linear voneinander ab via (das folgt wiederum aus ).


Wenn du statt mit mit den Werten deine Rekursion aufbauen willst, dann lautet diese nach dieser Substitution so:

.
DieNiete Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DieNiete





Ich sehe gerade, dass ich falsch abgeleitet habe. Das sollte natürlich



heißen, was aber nichts daran ändert das es falsch ist.

@HAL 9000

Alles klar, jetzt hab ich eine Vorstellung, wie ich das ganze angehen muss. Ich versuch das ganze mal mit dem Impliziten Euler. Dafür muss ich das nichtlineare System z.B. mit dem Newton-Verfahren lösen, richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oben war noch von expliziten Eulerverfahren die Rede, nun soll es dann doch das implizite sein? D.h. dann also



Na dann viel Freude beim Auflösen dieser Nichtlinearen Gleichung.
DieNiete Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe habe ich mir nicht selber ausgedacht. Das war eine Klausuraufgabe im letzten Jahr in meinem Studium. Teilaufgabe a war das ganze mit dem expliziten Euler zu berechnen, Teilaufgabe b mit dem impliziten Euler.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
P.S.: Bezeichnung hat mich etwas verwirrt, weil das normalerweise für Impuls steht - bei dir allerdings hat es stattdessen die physikalische Bedeutung Drehimpuls.

Das passt schon zusammen. In der Lagrange- und der Hamilton-Mechanik arbeitet man mit verallgemeinerten Koordinaten und Impulsen. Wenn eine verallgemeinerte Koordinate nicht die Dimension einer Länge hat, hat auch der zugehörige verallgemeinerte Impuls nicht die Dimension des üblichen Impulses. Die verallgemeirte Koordinate ist hier die Winkelkoordinate . Der zu ihr gehörende verallgemeinerte Impuls ist gerade der Drehimpuls.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, schon klar, was auch mehr eine Frage der Symbolwahl: Allgemein ist bei diesem Hamilton-Kalkül meist von die Rede. Da der Fragesteller schon Ortskoordinate in eine gängige Winkelbezeichung umbenannt hatte, wäre ja genausogut denkbar gewesen, auch gleich die Impulskoordinate dann zu nennen, dem üblichen physikalischen Symbol für Drehimpuls, d.h. dann . So sieht es für mich etwas inkonsequent aus, sozusagen auf halbem Wege stehengeblieben. Augenzwinkern
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