Determinante mittels vollst. Induktion

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StudentMitFragen Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante mittels vollst. Induktion
Gegeben ist die nxn-Matrix, die überall die Einträge 0 hat, bis auf die Diagonale "von oben rechts nach unten links", wo sie die Einträge 1 hat (ich denke, es ist verständlich, was gemeint ist).

Jetzt soll gezeigt werden:

, für n größer gleich 2

Induktionsanfang ist klar. Für n = 2 stimmt die Behauptung.

Induktionsvoraussetzung: Die obige Gleichung gelte für ein festes n.

Induktionsschritt: Zu zeigen ist, unter der IV, dass gilt:

Ich komme leider nicht darauf, wie es nun weitergeht. verwirrt
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante mittels vollst. Induktion
Du entwickelst die Determinante nach der ersten Spalte.
Oder der ersten Zeile. oder der letzten Spalte. Oder der ersten Zeile.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante mittels vollst. Induktion
Zitat:
Original von StudentMitFragen
Jetzt soll gezeigt werden:

, für n größer gleich 2

Gemeint ist:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn es nicht die geforderte Lösungsmethode ist, will ich hier dennoch eine elementare Lösung vorschlagen.

Für eine -reihige Matrix gilt bekanntlich



worin über alle Permutationen der Zahlen summiert wird und das Signum von bezeichnet. Für verschwinden in der Summe alle Summanden bis auf denjenigen mit . Der Betrag des Summanden ist offenbar 1, es kommt nur noch auf das Signum von an. Hier mal das Beispiel . Von 4321 ausgehend führt man Nachbarvertauschungen durch:

4312
4132
1432

Das waren 3 Transpositionen, bis man die 1 vorne hat.

1423
1243

Das waren 2 Transpositionen, bis man die 2 als zweites Element hat.

1234

Das war noch einmal 1 Transposition, bis alle Zahlen in aufsteigender Reihenfolge stehen.
Insgesamt waren es also Tranpositionen.

Und im allgemeinen Fall sind es Transpositionen, was zum Signum führt.
StudentMitFragen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante mittels vollst. Induktion
Zitat:
Original von URL
Du entwickelst die Determinante nach der ersten Spalte.
Oder der ersten Zeile. oder der letzten Spalte. Oder der ersten Zeile.


Das habe ich so schon probiert, aber irgendwo habe ich einen Denkfehler.



Da alle Determinanten aller Streichungsmatrizen 0 werden, bis auf die von

Letzte Zeile und 1. Spalte gestrichen ergibt wiederum D(n), also:



Somit erhalte ich:



Die 4 ist dort zu viel, aber ich wüsste nicht, wieso. Um auf das richtige Ergebnis zu kommen, müsste ich in der Summe bis statt stehen haben. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Warum umständlich und falsch, wenn es auch einfach und richtig geht? Von Leopold lernen heißt siegen lernen.
 
 
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss heißen .
Ich sehe keinen Fehler. Bedenke . Oder analog in deinem Ergebnis.

@Elvis: Man kann auch die erste Zeile mit der letzten vertauschen, die zweite mit der vorletzten.. und die Zahl dieser Vertauschungen zählen.
StudentMitFragen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Es muss heißen .
Ich sehe keinen Fehler. Bedenke . Oder analog in deinem Ergebnis.

@Elvis: Man kann auch die erste Zeile mit der letzten vertauschen, die zweite mit der vorletzten.. und die Zahl dieser Vertauschungen zählen.


Ah, super, dann habe ich es ja schon. Dass der Ausdruck sich zu vereinfacht, daran habe ich gar nicht gedacht. Gott
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